雙曲線公式怎麼來的?

雙曲線定義上只有 | PF1 - PF2 | = 2a , F1,F2相距2c, c>a>0
b^2= c^2 - a^2是定義!

取適當坐標,中心(0,0), F1(c, 0), F2(-c, 0), 設P(x,y), 則
√[(x+c)^2 +y^2] - √[(x-c)^2+y^2] = +/- 2a
移項平方=> (x+c)^2+y^2 = 4a^2 +/- 4a√[(x-c)^2+y^2] + (x-c)^2+y^2
4cx - 4a^2 = +/- 4a√[(x-c)^2+y^2]
約分4,再平方=>(cx)^2 - 2ca^2 x + a^4=a^2 (x^2-2cx + c^2) + a^2 y^2
(c^2-a^2) x^2 - a^2 y^2 = a^2 (c^2- a^2)
=> x^2 / a^2 - y^2/ (c^2-a^2) = 1
設 b^2 = c^2 - a^2 => (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1


2009-06-07 01:33:25 補充：
b^2= c^2-a^2起初就是用設的, 後來才證明雙曲線上任意點與某兩條線
距離相乘為固定數值(這兩直線就是雙曲線的漸近線), 如下:
設(p, q)為(x/a)^2 - (y/b)^2= 1上任意點,則 (p/a + q/b)(p/a - q/b)=1
=>|p/a +q/b|*|p/a- q/b|/[(1/a)^2+(1/b)^2]=(ab)^2/(a^2+b^2)為定值(與p,q無關)
即任意點A(p, q)與直線L1: x/a+ y/b=0, L2: x/a-y/b=0距離乘積為定值
當d(A, L1)越大=>d(A, L2)越接近0 (漸近)

2009-06-07 01:33:33 補充：
而L1, L2斜率 = +/- b/a
=>由中心水平走a單位(至頂點),鉛直走b單位即到達漸近線
這是後來才得到的結果, 並非先有(鉛直走b)才有雙曲線, OK!?

「請問有辦法直接證明這三者的關係嗎? 」

在橢圓形才有