求積分高手

設斜坡為x軸向正,雪球中心坐標為y= R(x)(半徑),x=0~ 500 cm
R(0)= 2.5 雪球滾動的總角度θ(x),則
已知 dR/dθ= 1/(2π)=>R=2.5+θ/ (2π)
雪球中心移動總長度S(x) => dS/dx = √{1+[R'(x)]} (弧長變化率)
雪球滾動不滑動 => 中心移動長度 = 雪球上點的移動弧長
=> dS = √[R+(dR/dθ)] * dθ (dθ= 2π dR)
=> dS/dx =√[R+(1/4π)] * 2πdR/dx
=> √[1+(dR/dx) ]=√(4πR+1) * (dR/dx)
平方之=> 1+(dR/dx)= (4πR+1)*(dR/dx)
=> 2πR dR/dx = 1
積分=> πR= x + C
x=0, R= 2.5 => x= π(R- 2.5), or R=√(x/π + 6.25 )
x= 500時, R=√(500/π+ 6.25) 約 12.86(cm)
so, 直徑=2√(500/π + 6.25) 約 25.72 (cm)

2009-06-06 18:49:39 補充：
哇!平方都消失了!更正如下:
雪球中心移動總長度S(x) => dS/dx = √{1+[R'(x)]^2} (弧長變化率)
雪球滾動不滑動 => 中心移動長度 = 雪球上點的移動弧長
=> dS = √[R^2+(dR/dθ)^2] * dθ (dθ= 2π dR)
=> dS/dx =√[R^2+(1/4π^2)] * 2πdR/dx
平方之=> 1+(dR/dx)^2= (4π^2R^2+1)*(dR/dx)^2=> 2πR dR/dx = 1

2009-06-06 18:49:45 補充：
積分=>πR^2= x+C,又x=0, R= 2.5=> x=π(R^2- 2.5^2), or R=√(x/π + 6.25 )
x= 500時, R=√(500/π+ 6.25) 約 12.86(cm)
so, 直徑=2√(500/π + 6.25) 約 25.72 (cm)

2009-06-07 02:56:45 補充：
Sorry!算錯了, 更正如下:
設斜坡為x軸向正,雪球中心坐標為y= R(x)(半徑),x=0~ 500 cm
R(0)= 2.5 雪球滾動的總角度θ(x),則
已知 dR/dθ= 1/(4π)=>R=2.5+θ/ (4π) (因繞2圈,半徑增1,原作答為2π)
雪球中心移動總長度S(x) => dS/dx = √{1+[R'(x)]^2} (弧長變化率)
雪球滾動不滑動 => 中心移動長度 = 雪球上點的移動弧長
=> dS = √[R^2+(dR/dθ)^2] * dθ (dθ= 4π dR)

2009-06-07 02:56:55 補充：
=> dS/dx =√[R^2+(1/16π^2)] * 4πdR/dx
平方之=> 1+(dR/dx)^2= (16π^2R^2+1)*(dR/dx)^2=> 4πR dR/dx = 1
積分=>2πR^2= x+C,又x=0, R= 2.5=> x=2π(R^2- 2.5^2),
or R=√[x/(2π) + 6.25 ]
x= 500時, R=√(250/π+ 6.25) 約 9.2643(cm)
so, 直徑=2√(250/π + 6.25) 約 18.53 (cm)

到下面的網址看看吧

▶▶http://qaz331.pixnet.net/blog

不用積分, 只要用近似值計算
設最後變為直徑 D
3.14*D^2/4-3.14*5^2/4=500 (最後圓面積減初始圓面積)
D=25.72