數學問題一題~~求個位數字為何？

R(n)= (a^n + b^n)/2, x= 2√2
= 3^n + C(n,2) 3^(n-2)*x^2 + C(n, 4) 3^(n-4) x^4+ ...
R(12345)= 3^n+ C(n, 2)3^(n-2)*x^2 + ...+ C(n, n-1) 3*x^(n-1)
n=12345
而 C(12345, 2), C(12345, 4), ...., C(12345, 12344)均為 5倍數
x^2, x^4, ..., x^12344均為偶數
故R(12345)之個位數與 3^12345之個位數相同= 3

2009-06-05 01:18:48 補充：
有點問題: C(12345, 2k)不一定是5倍數!我再Check一下!

2009-06-05 01:30:37 補充：
以上作答有誤, 更正如下:
(遞迴) R(n+2)= 6R(n+1)- R(n), 設R(n)個位數為r(n) , r(0)=1, r(1)=3
=> r(n+2)≣6r(n+1)- r(n) (mod 10),
=> 數列r(1), r(2), r(3), ...= 3, 7, 9, 7, 3, 1, 3, 7, 9, 7, 3, 1, 3, 7, 9, ...
6個一循環=> R(12345)≣r(12345) ≣ r(3) ≣ 9
Ans: 9

2009-06-05 09:34:52 補充：
以3+2√2, 3-2√2為根的二次方程式為 (x-3)^2=8 => x^2- 6x+1=0
故R(n)滿足 R(n+2)- 6R(n+1) + R(n)= 0
這是線性常係數差分方程式的解法, 類似線性常係數微分方程式解法!

2009-06-05 17:37:16 補充：
r(n+2)≣6r(n+1)- r(n) (mod 10),
r(0)=1, r(1)=3 => r(2)≣6*3 - 1 ≣ 7 ( mod 10) => r(2)= 7
r(3)≣6*7 - 3 ≣ 9 (mod 10) => r(3)= 9
...

r(n+2)≣6r(n+1)- r(n) (mod 10),
=> 數列r(1), r(2), r(3), ...= 3, 7, 9, 7, 3, 1, 3, 7, 9, 7, 3, 1, 3, 7, 9, ...　(mod 10),

可否解釋一下？