「穿針」的角度

ilovemadonna2009，你的思路全錯！

別忘記籃球不是垂直穿入籃圈，而且籃球中心的軌跡是曲線，所以籃球表面與籃框表面最接近時兩者之間的距離肯定不是等於籃球表面的最右面（最左面）的一點與籃框表面的最左面（最右面）的一點的距離。但ilovemadonna2009竟然不管三七二十一就取籃球表面的最右面（最左面）的一點作考慮。所以ilovemadonna2009的思路全錯，而根據他所計算出來的範圍，籃球仍然有機會撞籃框。

2009-05-30 16:07:48 補充：
在此提醒各位：

飛天魏國大將軍張遼發問的問題通常不會簡單的。如果好像ilovemadonna2009般這樣簡單的回答就可以答到飛天魏國大將軍張遼發問的問題的話，那麼飛天魏國大將軍張遼就不會發問這條問題，因為他自己都懂得做。

2009-05-30 16:13:01 補充：
事實上，這題是考驗我們locus和圓形與曲線的相交情況的。

2009-05-31 06:27:27 補充：
這題正確的思路應該是這樣的：

籃球的運動，對於籃球中心來說，其運動的軌跡會形成一條曲線；而對於整個籃球來說，其運動的軌跡會形成一個彩虹狀的區域。

籃球中心的運動軌跡的方程可以通過簡單的力學計算出來。至於接著下來要做的，就是要找該條「彩虹」的上界和下界的方程。而這兩條方程的tangent會與籃球中心的運動軌跡的tangent平衡且相距為籃球的半徑。

要找該條「彩虹」的上界和下界的方程，當然不是把籃球中心的運動軌跡的方程垂直移動就OK，而是要用上大量的找locus的技巧才能成事的。

2009-06-01 04:36:26 補充：
續007號意見：

找到該條「彩虹」的上界和下界的方程之後（應該是由θ、x和y這三個parameter組成），整條題目只是做了一半。接著下來的下半部分，就是要正視「穿針」這條問題。

從坐標的角度來說，籃框就會變成兩個圓形，而該兩個圓形的方程相信亦不難找到。

2009-06-01 04:36:39 補充：
接著下來的步驟就是最關鍵的。由於「穿針」的意思即是籃球在不碰籃框的情況下穿入籃圈，所以接著下來就是要把該條「彩虹」的上界與右邊的那個圓形和把該條「彩虹」的下界與左邊的那個圓形各組成兩組聯立方程，然後eliminate x和y之中的其中一個parameter（視乎x和y之中的那一個parameter較容易eliminate而定），繼而找出θ的範圍從而令到該兩條方程no real roots，最後合併該兩個θ的範圍。

2009-06-05 14:35:30 補充：
「Find the equation of the locus so that its tangent and the tangent of the given curve are parallel and have a given distance between them.」這是從未出現過的題型，況且我學locus不算學得太好，所以我煩惱極了。

2009-06-07 03:10:23 補充：
我終於諗到點計前半部分啦！

首先設P(x_1 , f(x_1))為籃球中心軌跡的其中一點，然後找出穿過P點的tangent的方程，繼而用d =│(Ax + By + C)/ √(A² + B²)│找出那條「彩虹」的上界和下界的tangent的方程。

由於兩條tangent互相平衡，那麼它們的normal必定會是common。因此要找出穿過P點的normal的方程，而那條normal與那條「彩虹」的上界和下界的tangent的交點就是那條「彩虹」的上界和下界的其中一點，因此只要eliminate x_1就會得出那條「彩虹」的上界和下界的方程。

2009-06-07 03:25:01 補充：
不過，我發現對於這題來說，eliminate x_1是一項非常艱巨的任務，而且還會隨時無法eliminate。我會盡力嘗試，如果真的無法eliminate，我會將難處告訴你。

2009-06-07 03:28:28 補充：
不過無論如何，ilovemadonna2009的回答肯定是錯的，所以千萬不要選ilovemadonna2009的回答為「最佳解答」。

2009-06-13 06:28:48 補充：

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參考資料：
my wisdom of maths + physics

2011-05-26 08:07:54 補充：
猛省，原來「recover the function whose the family of its tangents are known」正是包絡線（envelope）（http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_(mathematics)#Envelope_of_a_family_of_curves）（http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7011031101140），或許這對於求出那條「彩虹」的上界和下界的方程的更簡單形式有幫助。

期待doraemonpaul君的精彩解答!

多謝doraemonpaul的指教。還請您出手解答此問題 ^^

2009-06-07 08:05:32 補充：
還希望見到一驚天動地之作即將推出~~~

doraemonpaul 君, 相信除了你, 菩提兄和 Ivan 之外, 應該沒有誰可以完全領會到我的思路. 的而且確, 我能發問的問題, 以此題為例, 是我自己體會到的兼且我未能百分百完全 KO 的問題. 之所以說 "未能百分百" 是因為, 以此題為例, 我用了 approximation 才做到的. 當然, 如此做法與一般高考題是無異的.

2009-06-05 15:35:40 補充：
呢題的一個大難處係:
下方的 "彩虹" 的方程式並不是籃球的某一固定點的軌跡, 舉例說: 當球在最高點時, 其最低點就是下方的 "彩虹" 的頂點, 但肯定的, 在球未到或過了最高點後, 其最低點一定不是下方的 "彩虹" 的某點.

2009-06-07 08:28:27 補充：
連計延長發問的期限總共仍有六天, 耐心靜候中.

怎麼這題又復活了= =

大將軍耶，可以將數字弄得美點嗎?
計到一半就被小數點煩死了

2009-05-30 14:52:04 補充：
如果唔忽略空氣阻力、球會旋轉
=>計死人