一題數學問題~三點共線

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2009-05-27 02:00:46 補充：
註: 紅字表向量
設CD= a, CB= b , 則CE= 2a + b, CA= a+ 2b
CN= r CE= r(2a+b), CM= r (a+ 2b)
設 CM=x CN + y CB (x+y = 1, 因 BMN共線)
=> r (a + 2b) = x r(2a+b) + y b
=> r= 2xr ----(A)
2r= xr+y ----(B)
=> 由(A):
case 1: 若 r 不為0 => x= 1/2, y= 1/2, 代入(B)=> r = 1/3
case 2: r=0 , y=0, x= 1

Ans: r=0 or r= 1/3

註:題目0沒限制M,N不是C點, 故 r= 0算是一個答案
(Maybe標準答案沒有 r= 0)

2009-05-27 02:16:34 補充：
更正: CM= (1-r) CA= (1-r)(a+2b)
設 CM= x CN + y CB (x+y=1), 則
(1-r) (a+ 2b) = x r (2a+b) + y b
1-r = 2x r ---(A)
2(1-r)= xr + y => 1- 2r = x ( r -1) ---(B)
(A)/(B) => (1-r)/(1-2r) = r/(r-1) => r= ( -1 + √5 )/2
Note: 原答錯看為CM: CA= r

2009-05-27 02:19:40 補充：
又算錯了!
(A)/(B) => (1-r)/(1-2r) = 2r /(r-1) => 3r^2 = 1 , r= 1/√3

2009-05-27 07:44:07 補充：
謝謝提醒,已更改!

CM= r (a+ 2b) ==> 這行有誤

答案給的是 √3 / 3