Challenging trigonometry

STEVIE-G™的做法仍有問題，因為他未能達到如http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_constants#Table_of_constants般的化簡程度。

2009-06-01 04:57:09 補充：
STEVIE-G™，你似乎還未看出你的回答的問題徵結所在。

STEVIE-G™的回答的最大問題，就是每逢他找到sin θ之後，就偷懶地直接用cos θ = √(1 - sin² θ)去找cos θ，結果造成他所有找出來的cos θ的數值總是無法以最簡化的不盡根式（simplified surd form）來表示。

2009-06-01 05:14:50 補充：
注意：http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007081003096所示的方法是可行的，但是它完全沒有考慮到「以最簡化的不盡根式（simplified surd form）來表示」這個問題。因此它套用在今次的題目上就未必完全適合。

2009-06-04 04:00:30 補充：
至少要符合下列所有的條例才可算是「以最簡化的不盡根式（simplified surd form）來表示」：
1. 項數要最少
2. 根號的層數要最少
3. nested radical項要最少

2009-06-04 04:13:32 補充：
用cos θ = √(1 - sin² θ)，sin θ = √(1 - cos² θ)和半角公式的最大問題，就是會increase the depth of the nested radical，增加化簡的難度。

STEVIE-G™，除非你能夠保證你的回答肯定已經undenestable，否則仍未算是「以最簡化的不盡根式（simplified surd form）來表示」。

2009-06-04 15:17:48 補充：
STEVIE-G™，你打錯字啦！上述的方法不是由張遼提供，而是由六呎將軍提供。

2009-06-04 15:29:13 補充：
STEVIE-G™，其實你能夠想到這一步都已經算是很叻了。不過仍然和我的思路還相差很遠。

其實sin 1.5°都可以好像sin 3°那樣用兩層根式就搞掂。你信唔信？

2009-06-04 15:32:59 補充：
不過，STEVIE-G™，你都不要因此而自行移除回答，你的回答留作反面教材都不錯！

2009-06-04 16:49:45 補充：

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/trigonconstants/trigonconstants01.jpg


圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/trigonconstants/trigonconstants02.jpg


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圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/trigonconstants/trigonconstants20.jpg


靈感來自http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_constants#n_.C3.97_.CF.80.2F20 + http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_constants#21.C2.B0:_sum_9.C2.B0_.2B_12.C2.B0

參考資料：
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007081003096 + http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007052605338 + formula from http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009041200677 + my wisdom of maths

2009-06-04 21:39:01 補充：
六呎將軍不算是神秘人，她在本問題的意見欄已經出現過。詳見008號意見。

樓上 唔好咁快督爆人地XDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

六呎將軍不就是你的分身嗎?

六呎將軍可是個神秘人呢!!!
STEVIE-G™, 我會留待最後數小時才決出答案, 至於你是否做你想做的事, 給你約一天時間考慮吧!!!

建議做法:
利用 sin 2θ = 2 sin θ cos θ
代 θ = 1.5 度:
sin 3 = 2 sin 1.5 cos 1.5 (全為度之量度)
2x √(1 - x²) = sin 3, 其中 x = sin 1.5
4x² (1 - x²) = sin² 3
4x² - 4(x²)² = (1 - cos 6)/2
此為 x² 的二次方程, cos 6 亦可在網上查出.

As follows:

圖片參考：http://i707.photobucket.com/albums/ww74/stevieg90/04-13.gif


圖片參考：http://i707.photobucket.com/albums/ww74/stevieg90/05-12.gif


圖片參考：http://i707.photobucket.com/albums/ww74/stevieg90/06-5.gif



2009-05-26 21:27:24 補充：
謝謝doraemonpaul 的提點!

2009-05-26 21:47:46 補充：
那題sin3度我已更正了...但未知圖片能更新未?

2009-05-26 23:13:07 補充：
張遼大哥...我完成了...但不知我看的圖片還沒有更新...氣死人了>

2009-05-26 23:17:19 補充：
但計sin1.5度我還是用回原來的sin3度答案去做...計出來的應沒有什麼分別了吧...

2009-06-01 16:46:49 補充：
doraemonpaul大哥...不如你答左佢>

2009-06-04 11:37:05 補充：
哦...原來不盡根式係咁解...

2009-06-04 12:17:28 補充：
我化簡到一個較少項的,但依然係nested radical咁既樣...

2009-06-04 12:50:24 補充：
答案已更新了,這個看來簡潔得多,我已盡力化簡了...

2009-06-04 13:06:46 補充：
我開始明白一開頭做的點解個表示式咁複雜,因為對於越少的角度,如sin3度般是十分繁複的表示式,以半角公式找cos3=√1-sin²3
時,由於涉及sin3的2次方,及後再開方,再加上外層的開方,就極難作簡分,變成一個怪物...

用張遼提供的方法,以cos6度取代cos3度作為考慮是巧妙的地方,因cos6的表示式相比起cos3是簡潔的...故此計出來的sin1.5亦是簡潔得多!

雖然這答案相比起第一次的回答是簡潔得多,但仍擔心未能達到doraemonpaul提到的「不盡根式」...

2009-06-04 15:36:50 補充：
當然會信啦...數學有趣的地方就是用不同的方法往往會得到出人意表的答案。

同埋想請教一下少少野...就係doraemonpaul你所說的"不盡根式"要求3個"最少"...咁用呢個作為定義好似比較含糊...因為很難有一個準則去講點先係"最少"...有冇D更精確的定義??

2009-06-04 19:28:51 補充：
我不會刪走我的回答...正如doraemonpaul講...做反面例子也好吧!!!我亦輸得心服口服...冇話可說...!我與doraemonpaul實力真的相差太遠了=.=" 1.5=24-22.5確實是一絕技!