期望值定義與問題

期望值,並不是字面上"心裡想要的值",而是某隨機試驗產生之
隨機變數(一個函數: 定義域是樣本空間任意子集, 值域是實數)
(想像)經長期試驗下的平均值.
例如:等公車的時間, 每次可能都不一樣, "想像"閒著沒事,每天都
等同樣的公車,長期記錄等車的時間,並求等車時間的平均值,
記錄次數越久,所得的平均值就越"穩定", 此穩定值即等這班公車
時間的期望值.
又如:最簡單的隨機試驗,擲一粒骰子,每次都會出現1,2,3~6之一,
但就是無法保證是哪個數字出現(故名隨機試驗),
今欲求出現點數的期望值,想像閒著沒事,一直擲一骰子,並記錄
所出現的點數,比方說擲6萬次吧,對公正骰子而言,1,2,~6每個數字
出現的次數應該都相當(大約都是1萬次左右),這些數值的平均值
=(總和)/(總次數) 大約就是 10000*(1+2+3+4+5+6)/60000
= 1*(1/6) + 2*(1/6)+ ...+ 6*(1/6)= 3.5

這個數值3.5, 就是擲一骰子出現點數的期望值.

值得注意的是: 沒有一次出現點數是 3.5
再例: 選擇題考題25題四選一(每題4分),某人毫無準備
毫無概念地應考,沒事就一直考, 並記錄每次分數,
長期下來,平均分數應該會接近 100*(1/4)= 25分
(注意: 沒有一次分數會是25分), 因此某人胡亂猜測
若預測高於25分,即屬高估, 若預測低於25分則偏低,
25分是合理的估計值(即期望值)

回到本題 n顆股子, 點數總和的期望值,多次試驗,每次依序記錄
n個點數, 求總和再平均即 n顆骰子點數和的期望值
換個方式求每一顆骰子出現點數的期望值, 則第1顆, 第2顆, ...
第n顆骰子的期望值應該都差不多, 其總和與前述n顆的期望值
應該就相當吻合. 故理想上(理論上) E(x1+x2+..+xn)= nE(x1)
即 n顆總和的期望值= n倍(1顆的期望值)

註: 哇! 好長喔! 看得懂嗎?




2009-05-27 20:58:54 補充：
E(x1+..+xn)=Σ(x1+...+xn)P(x1)...P(xn) Σ範圍是x1之所有值,...,xn所有值
=Σx1P(x1)..P(xn) + Σx2P(x1)P(x2)..P(xn)+ ... +ΣxnP(x1)...P(xn)
(以上每個Σ都是n個Σ, 類似 n重積分)
=ΣE(x1)P(x2)...P(xn) +ΣE(x2)P(x1)P(x3)...P(xn)+...+ΣE(xn)P(x1)...P[x(n-1)]
(本式各Σ都是 n-1個Σ, 類似 n-1重積分)

2009-05-27 21:01:11 補充：
= E(x1)+E(x2)+...+E(xn)
(因ΣP(x2)P(x3)...P(xn)= 1, 其餘同理)
= n E(x1) ( 因E(x1)=E(x2)=...=E(xn) )

註: (1)同理E(x1*x2*...*xn) = E(x1)*E(x2)*..*E(xn)= [E(x1)]^n
(2)原作答是以直覺方式說明,那不是您的題意嗎 ?

2009-05-27 22:13:46 補充：
ΣP(x2)P(x3)...P(xn) (此Σ為 n-1重總和)
=ΣP(x3)P(x4)...P(xn) (此Σ為 n-2重總和, 已加總 x2之所有可能值)
= ... = ΣP(xn) (此Σ加總範圍為 xn之所有可能值)
= 1 (機率和= 1)

好像有點不太嚴謹

2009-05-27 22:07:11 補充：
下面的看不懂