double integral

double integral主要有三種：
第一種是indefinite double integral，例如∫∫(x + y) dx dy和∫∫x dx dx。
第二種是definite double integral，例如∫12∫12 (x + y) dx dy和∫12∫12 x dx dx。
第三種是semi-definite semi-indefinite double integral，例如∫12∫(x + y) dx dy、∫∫12 (x + y) dx dy、∫12∫x dx dx和∫∫12 x dx dx。


如何化簡double integral？

1. 最基本的運算技巧
由最內層的integral開始化簡，直到最外層的integral化簡為止，期間遵守這個規則：like variables treat as variables, unlike variables treat as constants.

這方法適用於所有種類的double integral，包括indefinite double integral、definite double integral，甚至semi-definite semi-indefinite double integral。

例子一：
　∫∫(x + y) dx dy
= ∫(x2/2 + xy + C1) dy
= (x2y)/2 + (xy2)/2 + C1y + C2

例子二：
　∫12∫12 (x + y) dx dy
= ∫12 [x2/2 + xy]12 dy
= ∫12 (22/2 + 2y - 12/2 - 1y) dy
= ∫12 (y + 3/2) dy
= [y2/2 + 3y/2]12
= 22/2 + (3 2)/2 - 12/2 - (3 1)/2
= 3

例子三：
　∫12∫(x + y) dx dy
= ∫12 (x2/2 + xy + C1) dy
= [(x2y)/2 + (xy2)/2 + C1y]12
= (x2 2)/2 + (x 22)/2 + C1 2 - (x2 1)/2 - (x 12)/2 - C1 1
= x2/2 + 3x/2 + C1
= x2/2 + 3x/2 + C

例子四：
　∫∫12 (x + y) dx dy
= ∫[x2/2 + xy]12 dy
= ∫(22/2 + 2y - 12/2 - 1y) dy
= ∫(y + 3/2) dy
= y2/2 + 3y/2 + C

例子五：
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007071200404

例子六：
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007041604026


2. variables separable double integral
We can use this theorem:∫ab∫cd f(x)g(y) dx dy = ∫ab f(x) dx ∫cd g(y) dy

例子一：
　∫12∫12 xy dx dy
= ∫12 x dx ∫12 y dy
= [x2/2]12 [y2/2]12
= (22/2 - 12/2)(22/2 - 12/2)
= 9/4

例子二：
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007102402012

例子三：
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7008032801327

注意：這方法只適用於definite double integral、但不適用於indefinite double integral和semi-definite semi-indefinite double integral。

例如∫∫xy dx dy ≠ ∫x dx ∫y dy。

因為∫∫xy dx dy
= ∫((x2y)/2 + C1) dy
= (x2y2)/4 + C1y + C2

但∫x dx ∫y dy
= (x2/2 + C1)(y2/2 + C2)
= (x2y2)/4 + (C2x2)/2 + (C1y2)/2 + C1C2

亦可以提及 change of variables 同埋 substitution 的技巧, 尤其是如何將 Cartesian coordinate 的 double integral 轉成 polar coordinate 的形式, 與及 Jacobian 的 concept.

doraemonpaul兄，不如講多少少關於點樣計算體積or其他應用。
因為好多時都係會有一個integral over a region，而亦要學習點樣寫出上下限等等。我諗佢亦是想學一下。