急!!!高等微積分題目

令 X=x/a； Y=y/b； Z=z/c → dx=adX; dy=bdY; z=cdZ
轉成球面座標( X，Y，Z) → (r，θ，Φ)
X=rsinθcosΦ；Y=rsinθsinΦ；z=rsinΦ；dXdYdZ=r2sinθdrdθdΦ
∫∫∫[x2/a2+y2/b2+z2/c2<=1]xydxdydz
=a2b2c ∫∫∫[X2+Y2+Z2<=1]XYdXdYdZ
=a2b2c ∫∫∫[r<=1](rsinθcosΦ)(rsinθsinΦ)r2sinθdrdθdΦ
=a2b2c ∫∫∫[r<=1]r4sin3θsinΦcosΦdrdθdΦ
=a2b2c [∫[r0→1]r4dr][∫[θ=0→2π]sin3θdθ][∫[Φ=0→2π]sinΦcosΦdΦ]
=a2b2c [∫[r0→1]r4dr][-∫[θ=0→2π](1-cos2θ)d(cosθ)][(1/2)∫[Φ=0→2π]sin2ΦdΦ]
=a2b2c [r5/5](r0→1)[-(cosθ-cos3θ/3)](θ=0→2π)[-(1/4)cos2Φ](Φ=0→2π)
=a2b2c(1/5)[0][0]
=0

2009-05-21 15:02:19 補充：
x=aX； y=bY； dx=adX；dy=bdY；z=cdZ
xydxdydz=a^2b^2c XYdXdYdZ

2009-05-21 16:38:28 補充：
煩惱即是菩提 說得對
θ=0→π

紫電青霜：

Sorry 一時眼花，裡面的 xy 沒看到

另外 X=rsinθcosΦ；Y=rsinθsinΦ；z=rsinΦ

其中 z=rsinΦ 是不是應該是 z=rcosθ? 0<=θ<=π

這一題應可將 xy 視為 x 的奇函數而積分區域也是對稱的

所以積分值一定是零

θ=0~π!

積分範圍呢?