數學歸納法證明問題

設S(n)為命題
“a2n-1+ b2n-1 能被 a+b 整除”。
當n=1時,
a2-1+ b2-1=a+b能被 a+b 整除。
所以,S(1)成立。
假設對於所有正整數k,S(k)都成立。
即a2k-1+ b2k-1= (a+b)N,其中N為一多項式。
當n=k+1時,
a2(k+1)-1+ b2(k+1)-1= a2k-1+2+ b2k-1+2
=a2 (a2k-1)+ b2(b2k-1)
=a2 [(a+b)N- b2k-1]+ b2(b2k-1)
=a2 (a+b)N- a2 (b2k-1)+ b2(b2k-1)
= a2 (a+b)N-(b2k-1)(a2- b2)
= a2 (a+b)N-(b2k-1)(a- b)(a+b)
=(a+b) [ a2N-(b2k-1) (a- b) ] 能被 a+b 整除。
所以,S(k+1)成立。
根據數學歸納法的原理,對於所有正整數n,命題S(n)都成立。