簡單a-maths問題

As follows:

圖片參考：http://i707.photobucket.com/albums/ww74/stevieg90/02-15.gif

let S(n) be "1^3 + 3^3 + 5^3 +...+ (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)"
when n=1,
RHS=1^2(2(1)^2 - 1)=1
LHS=1^3=1=RHS
so, S(1) is true
assume S(k) is true
when n=k+1,
RHS=(k+1)^2(2(k+1)^2 - 1)
=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1
LHS=1^3 + 3^3 + 5^3 +...+ (2k - 1)^3+(2(k+1) - 1)^3
=k^2(2k^2 - 1)+(2(k+1) - 1)^3
=k^2(2k^2 - 1)+(2k+1)^3
=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1=RHS
so, S(k+1) is true
so, S(n) is true for all positive integer n

設S(n)為命題
“13 + 33 + 53 +...+ (2n - 1)3 = n2(2n2 - 1)”。
當n=1時,
左方=13
=1
右方=12[2(1)2 - 1]
=1
所以,S(1)成立。
假設對於所有正整數k,S(k)都成立。
即“13 + 33 + 53 +...+ (2k - 1)3 = k2(2k2 - 1)。
當n=k+1時,
左方=13 + 33 + 53 +...+ (2k - 1)3+ [2(k+1) – 1]3
= k2(2k2 - 1)+(2k+1)3
=(2k4-k2)+(8k3+12k2+6k+1)
=2k4+8k3+11k2+6k+1
=(k+1)(2k3+6k2+5k+1)
=(k+1)(k+1)(2k2+4k+1)
=(k+1)2(2k2+4k+1)
=(k+1)2[2(k2+2k+1)-1]
=(k+1)2[2(k+1)2-1]
=右方
所以,S(k+1)成立。
根據數學歸納法的原理,對於所有正整數n,命題S(n)都成立。



2009-05-15 12:34:19 補充：
慢左...001最佳。