數學的難題

現設一序列 x_1=√6, x_{n+1}=√[6+x_n] 其中 n>=1

現先證明對所有n>=1, 有 x_n <= 3：
n=1：x_1 = √6 <= 3
設 x_k <= 3, 則
n=k+1：x_{k+1}^2 - 9 = [6+x_k] - 9 = x_k - 3 <= 0
即 x_{k+1} <= 3
由數學歸納法原理，結論成立。

另外，由於 x_{n+1}^2 - x_n^2 = [6+x_n] - x_n^2 = - [x_n + 2][x_n - 3] >= 0
所以 {x_n}是遞增序列。

由於 {x_n}是有上界且遞增，所以 x = lim(n→∞) x_n存在。

由定義，有 x_{n+1} = √[6+x_n]
兩邊取極限，有 x = √[6+x]
於是有 x^2 = 6+x，即命題成立。

事實上，解 x^2 - x - 6 = 0, 得到 x=3 或 x=-2。
由定義可知 x_n >= 0，故 x>=0，於是 x=3。

2009-05-06 17:45:22 補充：
上面的做法不充分，因為還不知道x是否well-defined。
如果x根本不存在，則做甚麼也是枉然。

故我先證明x存在，是一個實在的數字，在可在等式兩邊做運算。

2009-05-06 18:58:37 補充：
一、用MI證明 x_n <= 3，即{x_n}有上界
二、用(一)證明 x_n <= x_{n+1}，即{x_n}遞增
三、用(一)+(二)，根據「單調有界定理」，{x_n}收斂，即 x存在
[單調有界定理 是用來證明數列極限存在的常用工具]

四、由(三)知 x存在，為一實數，故可寫出 x=√[6+x]
　　從而題目中的結論成立。

x = sqrt { 6 + sqrt [ 6 + sqrt(6 + .....
so x^2 = 6 + sqrt[ 6 + sqrt(6 + .....
= 6 + x.
so this expression satisfies the equation.