如何利用數學歸納法證明「四色問題」?

要證明「四色問題」主要用到以下2個Idea
1 「不可避免集」(unavoidable set)
意指在任意一幅地圖 [1]上﹐一定會出現「不可避免集」中的其中一個圖形。例如{三角形﹐四邊形﹐五邊形}便是一個「不可避免集」{三角形﹐四邊形﹐二個連在一起的五邊形﹐一個五邊形和一個六邊形連在一起的圖形}亦可以組成一個「不可避免集」。
2 「可約配置」 (reducible configuration)
一個圖形是「可約配置」的意指當將這個圖形從地圖上拿掉後﹐根據「五色定理」﹐原地圖上當然可以用四色配置。現在若將該圖形放回地圖上﹐則經過重新配置﹐原地圖仍然可以是「四色配置」。例如三角形﹐四邊形都是「可約配置」的。
現在將這2個Idea結合便可以得出證明「四色定理」的思路或策略。
策略：找出一個由「可約配置」的圖形所組成的「不可避免集」。 [2]
因為既然是「不可避免集」﹐則地圖上一定會出現至少一個「不可避免集」中的圖形。但因此圖形是「可約配置」的﹐所以原地圖便可以是「四色配置」的。
例如若果「五邊形」是「可約配置」的﹐則問題已經可以輕鬆證明。可惜事實上不是如此。此亦是Kampe氏證明的錯誤之處。
在70年代開始﹐數學家找到大量「可約配置」的圖形﹐但始終找不到一組「不可避免集」(或至少有數千個元素)。直到1976年﹐Kenneth Appel 和 Wolfgang Haken 才找到一個只含1482個「可約配置」圖形的「不可避免集」﹐從而解決了此一長達124年的問題。 [3]
注：
[1] 在圖論上﹐「地圖」一詞有精確定義﹐例如一個面至少耍有三條邊﹐不過詳情從略。
[2] 這樣看來﹐證明「四色問題」并不需要用「數學歸納法」﹐但證明「五色定理」則需要。當然裡面的技術細節有沒有用就不知啦。
[3] 有趣的是﹐根據Ringel-Youngs Theorem for orientable surfaces﹐對於一個genus為h的surface而言﹐其地圖上最多只要用 ch(O_h)=|_(1/2)(7+√(1+48h))_|便夠了。對Tour而言﹐h=1代入得ch(O_h)=7；對球面而言﹐h=0代入得ch(O_h)=4。不過Ringel-Youngs Theorem 原本的證明只針對h>=1﹐這條公式對球面有效只不過是巧合。不過將這兩個情況統一起來倒不失為一件美事。

YES....這個網我看過...但都沒有詳情~

可約構形中的不可免完備集
http://www.edp.ust.hk/previous/math/history/8/8_15.htm