[ODE] 兩個double root 的 case 唔識寫

兩題都係同一個問題，就係單單搵一個eigenvector係唔夠既。
因為佢一定有兩個independent solutions，所以要搵另一個vector先得。

搵第二個vector既方法如下：

一開始搵eigenvector個陣就係solve (A-λI)v=0
搵完eigenvector v之後，而家再solve (A-λI)w=v。
解出既呢個w就係你要搵既第二個vector。

搵晒v同w之後，個解就係
(x,y) = c1*exp(λt)*v + c2*exp(λt)*[tv+w]

1. Solve上面個vector equation，得到 w=(3,1)

於是個解就係
(x,y) = c1*exp(t)*(2,1) + c2*exp(t)*[t(2,1)+(3,1)]

2. Solve上面個equation，得到 v=(2,2), w=(1,2)
[原則上可以選擇 v=(1,1)，不過呢個情況如果揀(2,2)，D數字會靚D。]

於是個解就係
(x,y) = c1*exp(-t)*(2,2) + c2*exp(-t)*[t(2,2)+(1,2)]

2009-05-05 22:23:18 補充：
上面個v叫做eigenvector，w就叫做generalized eigenvector

2009-05-05 22:26:12 補充：
可以參考：

http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_eigenvector
http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_normal_form