工程數學之用待定系數法解可微分方程式

版主你好：
1. y" - 2y' + 10y = 20x^2 + 2x - 8
　由 λ2 - 2λ+ 10 = 0 知 λ= 1 +- i3，故齊次式通解 yh 為：
　　yh = ex (C1 cos(3x) + C2 sin(3x))
　嘗試特解 yp = Ax2 + Bx + C，將之代入方程式中，而有：
　　2A - 2(2Ax + B) + 10(Ax2 + Bx + C) = 20x2 + 2x - 8
　　⇒　A = 2、B = 1、C = -1
　故通解為 y(x) = ex (C1 cos(3x) + C2 sin(3x)) + 2x2 + x - 1
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2. y" - y' - 6y = 8e^(2x)
　由目視知齊次式部分通解為 yh = C1 e-2x + C2 e3x 。因非齊次項
　為 8e2x 故應嘗試之特解為 yp = Ae2x，代入方程式，而有：
　　4A - 2A - 6A = 8　⇒　A = -2
　故通解為 y(x) = C1 e-2x + C2 e3x - 2e2x
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3. y" + 2y' - 35y = 12e^(5x) + 37sin5x
　由目視知齊次式部分通解為 yh = C1 e-7x + C2 e5x 。
　因方程式為線性，故考慮以下二式：
　　y" + 2y' - 35y = 12 e5x　；　y" + 2y' - 35y = 37 sin(5x)...(3.1式)
　(3.1式)左式因非齊次項 12 e5x 故應嘗試特解為 A x e5x 明顯：
　　(A x e5x)'' + 2(A x e5x)' - 35(A x e5x) = 12A e5x = 12 e5x
　　⇒　A = 1　故特解為 x e5x。
　(3.1式)右式因嘗試特解 B cos(5x) + C sin(5x) 代入可得：
　　-25(B cos(5x) + C sin(5x)) + 10(-B sin(5x) + C cos(5x)) - 35(B cos(5x) + C sin(5x)) = 37 sin(5x)
　上式經簡易計算而有 B = -0.1、C = -0.6
　故通解為 y(x) = C1 e-7x + C2 e5x + x e5x - 0.1 cos(5x) - 0.6 sin(5x)
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4. y" - y' - 6y = 12xe^x
　由目視知齊次部份通解為 yh = C1e-2x + C2 e3x，非齊次特解
　應嘗試 (Ax + B) ex，代入方程式而得：
　　((Ax + B) ex)'' - ((Ax + B) ex)' - 6((Ax + B) ex)
　　= (- 6Ax + A - 6B)ex = 12 x ex　⇒　A = -2、B = - 1/3
　故通解為 y(x) = C1e-2x + C2 e3x - (2x + 1/3) ex
希望對你有幫助，不懂在討論吧！！