點樣解平方根中根？？

👨🏻‍🏫 學術台數學

sap00acm

2009-04-12 9:03 pm

我想知道點樣解一個平方根入面，又有一條平方根o既式？
例如，√(3-2√2)，依個就話易d姐，可以折倒做一個perfect square, √(√2^2 - 2√2+1) =√2-1...
但係例如另一d無厘頭o既平方根，點折？例如，√(√13 - √6) 入面冇2，點樣整倒做perfect square?? 又或者點轉返做以一個平方根o黎表示？

回答 (2)

doraemonpaul

2009-04-17 9:34 pm

✔ 最佳答案

👍 0 👎 0

學問

2009-04-14 1:13 am

呢條問題都幾有意思。我地試下從一個學術性的角度出發，睇睇呢條問題。
.
首先，要講清楚「根式」(surd form)。
以下以 irr 表示一個根式。
任何 irr 必為 a + √b 或 a - √b 的形式，
即 a 為其有理部份(rational part), √b 為其無理部份(irrational part)。
注意，其中 a 可以為 0, 即 irr 只有無理部份；
另外， b 必為正數，否則 irr 便變成了複數...
以下以 irrSq 表示 irr 這個根式的平方。
為方便起見，以 ~ 代表「+ 或 -」。
例 1: irr = a ~ √b
irrSq = ( a ~ √b )^2 = a^2 ~ 2*a*√b + b = ( a^2 + b ) ~ 2*a*√b
例 2: irr = √a ~ √b
irrSq = (√a ~ √b)^2 = ( a + b ) ~ 2*√(ab)
例 3: irr = ~ √a ~ √b ~ √c
irrSq = (~ √a ~ √b ~ √c)^2
= ( a + b + c) + 2*( ~ √(ab) ~ √(bc) ~ √(ca) )
.
睇到個 pattern 嗎?
任何開方野加埋的二次，必有有理部份！
所以，你在題目提到的 √13 - √6 ，係無辦法寫成根式平方的！
( 如果硬要拆開做 perfect square, 可能會有一D 開方四次 )
.
咁而家，我地ge問題就變左：「係唔係任何 a ~ √b 都可以拆成根式平方呢？」
.
試下例如 √24，
可以拆成 2*√2*√3、或者2*1*√6，
只要配返 2+3 或者 1+6, 都可以變為perfect square.
意思係： For irrSq = 5 ~ √24, irr = √2~√3;
For irrSq = 7 ~ √24, irr = 1~√6.
但係如果有理部份唔係 5或 7, 就必定拆唔到做整數的perfect square!
.
另外，如果無理部份無 2 這個因子，也拆唔到做整數的perfect square
例如：√5，要睇成 2*√(5/4)，所以要配上1+5/4
即當 irrSq = 9/4 ~ √5, irr = 1 ~ √(5/4)
.
比較特別的例子，係將 √15 睇成 2*√(3/2)*√(5/2)，
咁就要配上 3/2 + 5/2 = 8/2 = 4，
即當 irrSq = 4 ~ √15 , irr = √ (3/2)~ √(5/2).
今次無理部份無 2，有理部份唔係分數，所以要用 2*√(1/2)*√(1/2)呢招喇，上面的因子再自己試返點拆。
.
睇左咁耐，要唔要自己試下做返幾條呀^^?
俾 5 條你：
1. irrSq = 46 - 6√5
2. irrSq = 11 + √96
3. irrSq = -1 + 4√14
4. irrSq = 27/4 + 6√3
5. irrSq = 2 - √5
(答案係意見度)

2009-04-13 17:15:08 補充：
1. 1 - 3√5
2. √3 + √8
3. √7-2√2
4. 6 + √(3/4)
5. √(5/2)-√(1/2)

2009-04-14 13:21:14 補充：
To: doraemonpaul
唔.. 不如你就著『「nested radical」、「denesting」、「不是所有都能化簡」這三個重要的訊息』補充下吧~

2009-04-14 13:21:44 補充：
> 讓我回答吧！
對呀！你快快回答吧！

2009-04-19 18:09:27 補充：
唔，用公式去化簡平方根中根嗎？也很有趣呢~

2009-04-19 18:09:49 補充：
可以補返下面死左link的圖嗎?

👍 0 👎 0

收錄日期: 2021-04-13 16:33:37
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090412000051KK00677

檢視 Wayback Machine 備份