多維球體公式&&估計體積

設 n-dim的 ball(半徑R) 大小為 V(n,R), 則
V(n+1, R)= 2∫[0, π/2] V(n,Rcosθ) Rcosθ dθ
V(1, R) = 2R , 則
V(2, R) = 2 ∫[0,π/2] V(1, Rcosθ) Rcosθ dθ= πR^2
V(3, R)= 2∫[0, π/2] π(Rcosθ)^2 Rcosθdθ= 4πR^3 / 3
V(4, R)= 2∫[0, π/2 ] (4/3)π(Rcosθ)^3 Rcosθdθ= (π^2 R^4 )/2
V(5, R)= 2∫[0,π/2] (π^2 R^4 cos^4θ)/2 * Rcosθdθ=8/15 π^2 R^5

2009-04-13 00:34:48 補充：
(公式)設V(n, R)=a(n)R^n, a(1)=2,則
a(n+1)R^(n+1)= 2∫[0,π/2] a(n)(Rcosθ)^(n+1) dθ=a(n) r^(n+1)Beta(n/2+1, 1/2)
=>a(n+1)Γ(n/2+ 3/2)= a(n)Γ(n/2 + 1)√π= ...=(√π)^n*a(1)Γ(3/2)
=>a(n)Γ(n/2 + 1)=π^(n/2) =>a(n)=π^(n/2)/Γ(n/2 + 1)
故V(n, R)= π^(n/2)*R^n/Γ(n/2 + 1)

2009-04-13 00:55:55 補充：
謝了! 有您的提醒, 我才知有公式, 之前還一個一個推導哩!

2009-04-14 00:01:17 補充：
1. 謝謝Linch兄回答1-dim ~ 10-dim的 special case !
2. 高中生問到 n-dim ball的體積, 程度也太好了吧!

這種東西 我就只好"袖手旁觀"了
佩服 佩服!!!!

忘了在哪看到的一下子找不到 只找到公式

n維的單位球體體積為 Pi^(n/2)/Gamma[n/2 + 1]

2009-04-13 00:46:22 補充：
大師果然是大師 !!

2009-04-13 01:37:40 補充：
我只是記得好像有那麼一個公式
想找找當初在哪裡看到的
無奈只找到公式就隨手寫出來
沒想到您就把它證明了 ^_^

2009-04-13 23:42:11 補充：
1. 2R
2. πR^2
3. 4πR^3 / 3
4. π^2R^4 / 2
5. 8π^2 R^5 / 15
6. π^3 R^6 / 6
7. 16π^3 R^7 / 105
8. π^4 R^8 / 24
9. 32π^4 R^9 / 945
10. π^5 R^10 / 120

2009-04-13 23:44:39 補充：
偶數維 分母正好跟 階乘有關

奇次為 分子與 2 的次方有關 分母與 1*3*5*7*...*(2n-1) 有關

應該可以自己推得出來吧！