說真的,就算這題項圈排列就好

對稱（翻面）是好重要的一環﹐但我不知這題是不是與burnside有關

2009-04-12 01:59:04 補充：
問題不妨改成有4顆紅寶石﹐ 4顆藍寶石 ﹐4顆綠寶石﹐可以製成多少款不同的項鍊!!!

2009-04-12 02:58:14 補充：
嗯﹐應該是正十二邊形﹐這樣才談得上翻面

2009-04-12 14:09:59 補充：
其實可以用BURNSIDE'S THEOREM ﹐不過平時代數書不是出這種TYPE﹐所以驟眼望上去不肯定。
http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside%27s_lemma
為了說明如何用﹐先考慮最簡單的情況﹐假定有一正方形項鍊﹐另有2顆紅寶石﹐ 2顆藍寶石 ﹐可以製成多少款不同的正方形項鍊!!!
用窮舉法可以知道是2種﹐現用BURNSIDE'S THEOREM 證明
考慮一個由R,R,B,B所組成的集合S﹐其原素數目為6(如RRBB)﹐考慮在一群D4作用下的置換。
若果是I(恆等置換)﹐S中不變的原素數目為6
若果是順時針轉1,3次﹐S中不變的原素數目為0
若果是順時針轉2次﹐S中不變的原素數目為2
而對每一個翻轉(共4個)而言﹐S中不變的原素數目為2
因此﹐不同的正方形項鍊數目
=(1/8)(6+2+4*2)
=2
正好相同。現在問題就變得比較簡單

圖片參考：http://163.21.2.41/t122/equation/new_pa77.gif

考慮一個由R,R,R,R,B,B,B,B,G,G,G,G所組成的集合S﹐其原素數目為12!/(4!)^3=34650﹐考慮在一群D12作用下的置換。
若果是I(恆等置換)﹐S中不變的原素數目為34650
若果是順時針轉1,2,4,5,7,8,9,10,11次﹐S中不變的原素數目為0
若果是順時針轉3,9次﹐S中不變的原素數目為3!=6
若果是順時針轉6次﹐S中不變的原素數目為6!/(2!)^3=90
而對每一個翻轉(12個)而言﹐S中不變的原素數目為6!/(2!)^3=90
因此﹐不同的正十二邊形項鍊數目
=(1/24)(34650+2*6+90+12*90)=1493


2009-04-12 14:15:16 補充：
1,2,4,5,7,8,10,11次

2009-04-12 15:52:22 補充：
(2,2,2)較易吧

(1/12)(90+3!*6+3!)=11

2009-04-12 15:53:02 補充：
2,2,3留給你啦﹐不對稱更難

　　１２！　　　１　　　１
──────＊───＊───
４！４！４！　　１１　　２

＝３４６５０除１１除２

＝１５７５

Ａ：１５７５種

除１１。不是除１２是因為有一顆已經定位
所以那顆不用算
除２是因為向鍊可以翻轉

１５７５種
這應該是對了

先假設並非環狀排列，而是直線編號排列(1~12號位置)。

假設我們把原來的4個A更名為A1、A2、A3和A4，
這樣對應於原來的某個排列如ACAABABBCCBC，便可產生一系列新的排列，如A1C1A2A3B1A4B2B3C2C3B4C4和A2C2A2A1B1A3B2B3C1C3B4C4。

由於在確定了4個A的位置後，
把A1、A2、A3和A4填入這4個位置應共有 4!種填法，
因此新排列數目應為原來排列數目的4!倍。

同理，當我們把4個B、4個C更名後，
新排列數目應為第一次更名後產生的新排列數目的4! × 4! × 4!倍。

當把A、B、C全部更名後，
我們便把原來的問題轉化為12個字母「不可重覆全排列」問題，
應有12!種排法。
由於這12!種「新」直線排列是「原來」直線排列數目的4! × 4! × 4!倍，我們求得「原來」直線排列的數目應為12! / (4! × 4! × 4!) = 34650

我們把平移後的11種結果跟原來的情形編成同組，
再用組別加以討論。

(一)平移後，有其中一種翻面會相同：
例如: AABBCCCCBBAA，平移後可再得11組，如AAABBCCCCBBA、AAAABBCCCCBB、BAAAABBCCCCB…

對稱形式xyzwkh-hkwzyx，
hkwzyx填入兩A、兩B、兩C
6! / (2! × 2! × 2!) = 90種「翻面後仍相同」的環狀排列方法。
此分類中共90*12=1080種直線排列方法數。

(二)平移後，翻面後皆不同的直線排列方法數：
此分類中共34650 - 1080 = 33570種直線排列方法數。

(1) 「有循環」的環狀排列
對xyz-xyz-xyz-xyz「循環」的環狀排列而言，每3個重覆一輪，
若改成直線編號排列會有3種排法。
對xxyyzz- xxyyzz「循環」的環狀排列而言，每6個重覆一輪，
若改成直線編號排列會有6種排法。
而A、B、C代表x、y、z有3!=6種排法，
(3+6) *6= 54 種循環的直線排列方法，
且有6*2=12種「循環」的環狀排列方法。

(2) 「無循環」的環狀排列
因為位置共有12個，原來的某個「無循環」的環狀排列，例如ACAABABBCCBC，
若改成直線編號排列會有12種排法。
所以(33570-54) / 12 = 2793種「無循環」的環狀排列方法。

共2793+12=2805種「翻面後不同」環狀排列方法。

2805(翻面後不同)+90(翻面後相同) = 2895種環狀排列方法。

有錯請指教~

考量項圈太複雜了,刪除之!

菩提　大大

case 1: 4A (4A均相鄰)
先固定4A坐下, 剩下4B4C直線排列=> 8!/(4!4!)= 70

這種情況是否沒有考慮到對稱（翻面）
EX：　AAAA BBB CCCC B ＝ AAAA B CCCC BBB

說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的說真的

不用按了!我知道哪裡錯了
算好再補上ok!

回答者： 蜉蝣 ( 專家 3 級 )

QQ 拿個小算盤按按你算出來的數值多少吧~"~

2009-04-11 22:59:50 補充：
sure , take your time

2009-04-11 23:33:37 補充：
蜉蝣 ( 專家 3 級 )

你刪掉了 這樣就沒法在回答了耶

2009-04-11 23:43:40 補充：
回答者： →～Ｄｏ～← ( 實習生 1 級 )

您請回吧

2009-04-12 12:26:37 補充：
先算(8,4)環排

再算(3,3,3)項圈

再算(2,2,3)項圈

再算(2,2,2)項圈

最後在算這個 可能比較好上手?

2009-04-12 12:48:53 補充：
回答者： huiyula ( 初學者 3 級 )

你算的比較接近了 不過 . . . . . .

為什麼你的環排"翻面後不同"的部份 沒有除以2?

(而且我認為前面你可能也有計算錯誤 因為2805除以2之後
恐怖的0.5又出現了...)

2009-04-12 13:02:09 補充：
意見者： myisland8132 ( 知識長 )

問題不妨改成有4顆紅寶石﹐ 4顆藍寶石 ﹐4顆綠寶石﹐可以製成多少款不同的項鍊!!!

我的意思正是這樣,如讓人看不懂真是抱歉了.

2009-04-12 15:15:39 補充：
回答者： myisland8132 ( 知識長 )

稍等一下,我正在研究.

不過可否請您用burnside's lemma也做做看

(2,2,3) 和(2,2,2)的環排供小弟參考一下

2009-04-12 16:01:37 補充：
假設用一般排組的作法的話 (2,2,3) 反倒是更簡單的:

1/2(30+6) = 18種

2009-04-12 16:02:24 補充：
我以為: (4,4,4)惱人之處就在於它太對稱

說真的，我看不懂你在問啥＝　＝
ＡB C跟 作項圈排列有啥關係？

2009-04-11 23:22:10 補充：
有規定說一定每個要放嗎？

如果沒有的話那應該是５＊５＊５（每個都可以選０。１。２。３。４，五種）

有的話應該是４＊４＊４（每個都可以選１。２。３。４）