一些數學數論的問題~

第一題第2個有問題
{F(n)}應該是遞增吧
f(n+1)^2-f(n+2)^2<0....

2009-04-11 11:56:52 補充：
還是怪怪的...
應該是f(n+1)^2-f(n-1)^2=f(2n)吧

2009-04-11 12:19:01 補充：
1.
(1)
引理:f(m+n)=f(m+1)f(n)+f(m)f(n-1)(For all n>=2)(用數學歸納法可證)
相關證明可見http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1306031510698
由引理f(n+(n+1))=f(n+1)f(n+1)+f(n)f(n)
=>f(2n+1)=f(n+1)^2+f(n)^2
(其實這個也可以直接用數學歸納法...)
(2)
由(1)，因為
f(2n+1)=f(n+1)^2+f(n)^2.....(1)
f(2n-1)=f(n)^2+f(n-1)^2......(2)
(1)-(2)=>f(n+1)^2-f(n-1)^2=f(2n+1)-f(2n-1)=f(2n)
(因為f(2n+1)=f(2n)-f(2n-1))
(3).
因為f(n)f(n-1)=f(n)f(n-1)
=>f(n)[f(n+1)-f(n)]=f(n-1)[f(n-1)+f(n-2)]
=> f(n+1)f(n)-f(n-1)f(n-2)=f(n)^2+f(n-1)^2=f(2n-1)(由(1).可知)

2009-04-11 12:19:53 補充：
to 阿飄:
但是他的題目是整數解
不是正整數...
所以我才會說有無限多組解...

2009-04-11 12:29:47 補充：
2.
因為(2m)!/(m!)^2
=(2m)(2m-1)...(m+1)/(m!)
我們知道m個連續正整數之乘積必為m!的倍數
故(2m)!/(m!)^2為整數
同理可得(3n)!/(n!)^3亦為整數
故[(2m)!(3n)!]/[(m!)^2(n!)^3]為整數


關於"m個連續正整數之乘積必為m!的倍數"可用數學歸納法證明
相關證明請看此
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1305090617534
一些證明之前有人寫過，我就不直接打出來了...

2009-04-11 12:44:57 補充：
3.Prove that if n>4 is composite, then n divides (n-1)!

因為n為合數
故n可表示為(p_1)^(a_1)*(p_2)^(a_2)*...(p_k)^(a_k)(p_i為質數,i=1,2,..,n)
顯然(p_i)^(a_i)不大於n-1
且皆互質
所以n=(p_1)^(a_1)*(p_2)^(a_2)*...(p_k)^(a_k)為(n-1)!之因數

2009-04-11 12:53:17 補充：
4.Let r be the remainder when 1059, 1417 and 2312 are dividesd by d>1.Find the value of (d-r).

因為1059≡1417≡2312≡r(mod d)

1417-1059=358≡0(mod d)
2312-1417=895≡0(mod d)
358=2*179,895=5*179
故d=179
則r=164
故d-r=179-164=15

2009-04-11 12:54:53 補充：
第五題我還是覺得怪怪的
如果是找正整數
那就是無解，可用無窮遞降法證明
整數應該就會變成無限多解

2009-04-11 22:33:14 補充：
首先，(a,b,c)=(0,0,0)為一組顯解

若a為正整數
我們令S為滿足上式之所有a之集合
以至於存在與其對應之b,c也滿足此方程式
則由良序原理知，S中包含一最小的元令為a_0
於其對應之b,c令為b_0,c_0

2009-04-11 22:33:36 補充：
現在我們有a_0^3+2b_0^3=4c_0^3
注意到a_0^3為偶數，故令a_0=2k
則式改寫為8k^3+2b_0^3=4c_0^3
=>4k^3+b_0^3=2c_0^3
同樣地，上式之b_0為偶數
故可令b_0=2t，上式改寫為
4k^3+8t^3=2c_0^3
=>2k^3+4t^3=c_0^3
又顯然c_0為偶數，令c_0=2m
2k^3+4t^3=c_0^3可再改寫為
2k^3+4t^3=8m^3
=>k^3+2t^3=4m^3
上式與a^3+2b^3=4c^3比較可知
至此我們又找到一組解且k


2009-04-11 22:34:00 補充：
同理可就b為正整數及c為正整數之情況以相同方式得出無解
當a,b,c全為負時
可將等號左右兩邊同乘(-1)換成正，在用以上方法得無解
故(a,b,c)除了(0,0,0)外無其他整數解


字數超過限制，只好分開打(汗

2009-04-11 22:37:48 補充：
無言，漏字....

第五題的第三個補充最後應為

至此我們又找到一組解且k





2009-04-11 22:41:15 補充：
比a_0小
與a_0為S中之最小元矛盾
故無解

2009-04-11 22:42:01 補充：
終於出來了....
剛剛連打好幾次，字會自動消失....
害我又換另一種講法....

2009-04-18 18:58:19 補充：
我無奈...
用英文寫的那篇第五題證明錯了=.=....
the least nonnegative solution
正確來說
應該是the least solution in N(正整數集)
如果說是非負解，那矛盾又是何來.....
他本來就有(0,0,0)的解了
而且他現在問的並不是非負整數解
而是單純整數
你只證明他在a,b,c為正整數時無解
證明根本沒有完....

糟糕......忘記選最佳解答了= =

1 F(n+2)=F(n+1)+F(n)
Since for any sequence G(n)
G(n+m)=F(m-1)G(n)+F(m)G(n+1)
Sub G(i)=F(i) and set m=n+1,we get F(n+1)^2+F(n)^2=F(2n+1)
(2) Set G(i)=F(i) and set m=n,we get F(2n)=F(n-1)F(n)+F(n)F(n+1)
Or F(2n)=F(n)[F(n-1)+F(n+1)]=[F(n+1)+F(n-1)][F(n-1)+F(n+1)]
=F(n+1)^2-F(n-1)^2
(3) F(n)F(n-1)=F(n-1)F(n)
=>F(n)[F(n+1)-F(n)]=F(n-1)[F(n-1)+F(n-2)]
=> F(n+1)F(n)-F(n-1)F(n-2)=F(n)^2+F(n-1)^2=F(2n-1)
2 [(2m)!(3n)!]/[(m!)^2(n!)^3]
=[(2m)!/(m!)^2][(3n)!/(n!)^3]
The first one is just 2mCm and for the second one, consider distributed 3n different items into three distinct box. The possible combinations is equal to [(3n)!/(n!)^3]
3 n is composite => n=pq where 1<p,q<n-1
So n divides (n-1)!
4
Since each of the given numbers 1059, 1417, and 2312, when divided by D, has the
same remainder, D divides the differences between the numbers. Factoring the differences,
2312 – 1417 = 895 = 5179
1417 – 1059 = 358 = 2179
Since 179 is prime, D = 179. Now 1059 = 5179 + 164, thus, R = 164. Therefore,
D – R = 179 – 164 = 15
5 There is no integer solution.
If there is a solution, then let say the least non-negative solution is a,b,c. Then a should be even, so b should also be even. Now let a=2K, b=2M => a^3+2b^3=4c^3 <=>
8K^2+16M^3=4c^3=>2K^2+4M^2=c^3=> c is even. Let c=2N
Now 8K^2+16M^3=32N^3=>K^2+2M^3=4N^3 which is a contradiction since K,M,N < a,b,c



2009-04-12 01:25:16 補充：
第5題應是只有(0，0，0)這組解

五用無窮遞降法

2009-04-11 19:53:36 補充：
不是正整數還是一樣阿

可以簡單討論

只有(0，0，0)這組解