空間曲面與直線

這個曲面是雙曲拋物面，或稱為鞍面
它是直紋曲面，有兩族母線，意思是有無限多條直線在這個曲面上。
考慮直線(以兩面式表示):
x+2y=k ， k(x-y)=z+1 ，其中k是任意實數
x-y=s ， s(x+2y)=z+1 ，其中s是任意實數
顯然這兩族直線在此曲面上，
稱它們是這曲面的母線。

2009-04-06 11:58:48 補充：
"母線"意為曲面可由這兩族任一族構成
任意選定曲面上一點
必定恰有兩條直線在曲面上且過此點

2009-04-08 20:30:17 補充：
假設(p,q,r)在曲面上p^2+pq-2q^2-r=1
過(p,q,r)的直線L方程式為
x=p+at
y=q+bt
z=r+ct
我們希望L完全落在曲面上，那麼
(p+at)^2+(p+at)(q+bt)-2(q+bt)^2-(r+ct)=1
(a^2+ab-2b^2)t^2+(2pa+qa+pb-4qb)t+(p^2+pq-2q^2-r-1)=0
(a^2+ab-2b^2)t^2+(2pa+qa+pb-4qb)t=0
對於任意的t都要滿足上式
那麼它就是恆等式

2009-04-08 20:30:23 補充：
a^2+ab-2b^2=0..................(1)
2pa+qa+pb-4qb=0....................(2)
由(1)得 (a+2b)(a-b)=0
可以得到a:b=2:(-1) or a:b=1:1
再代入(2)可以得到c的比例

檢查一下可以知道與上述母線相同

老王沒錯!有無限多條!

嗯! 觀察能力很好!
可以證明就只有這兩條直線嗎?