一個數學遞迴數列問題

這一類的遞迴數列的一般項是有公式的：

圖片參考：http://link.photo.pchome.com.tw/s06/cloudyma/19/123919395343/

本題x=-1，p=-2，q=3，代入化簡得An=1+(-2)^n
證明：
不難展開
A(5)=p(p(p(px+q)+q)+q)+q=p^4*x+qp^3+qp^2+qp+q=p^4*x+q(1+p+p^2+p^3)
於是我們猜測A(n)=p^(n-1)x+q(1+p+p^2+p^3+.....+p^(n-2))
利用數學歸納法證明
A(2)=p^1*x+q*1=px+q成立
設當n=k時成立，A(k)=p^(k-1)x+q(1+p+p^2+p^3+.....+p^(k-2))，
當n=k+1時，
A(k+1)
=p[p^(k-1)x+q(1+p+p^2+p^3+.....+p^(k-2)]+q
=p^k*x+q(p+p^2+p^3+p^4....+p^(k-1))+q
=p^k*x+q(1+p+p^2+p^3+p^4....+p^(k-1))
因此得證。
利用等比級數和公式再整理一下，得
A(n)=p^(n-1)*x+q(p^(n-1)-1)/(p-1)，當p不等於1時；
A(n)=1^(n-1)x+q(1+1+1^2+1^3+.....+1^(n-2))=x+(n-1)q，當p=1時。
等比數列與等差數列都算是這一類遞迴數列的特例。
(p=1時為等差數列，x,p不為0且q=0時為等比數列)

An + 2(An-1) -3 =0

An(h) => x+2 =0

x = -2

An(h)=c(-2)^n
令
An(p) = d

d +2d -3 =0

d = 1

An =An(h) +An(p) = c(-2)^n +1

代入初始條件

a1 = 1 ;

-1 = c (-2)+1 => c = 1


An = (-2)^n +1

Ａn
=-2Ａn-1+3
=-2(-2Ａn-2+3)+3
=(-2)^2An-2+(-2)(3)+3
=(-2)^3An-3+(-2)^2(3)+(-2)(3)+3
=...
=(-2)^(n-1)A1+3[(-2)^(n-2)+....+1]
=(-2)^(n-1)(-1)+[1-(-2)^(n-1)]
=1+(-2)^(n)