求定積分之值(2)

這是沒辦法用初等函數來表示的，
因為他包含了「橢圓積分(elliptic integral)」函數，用
以下的積分器可以知道答案 :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
這裡是橢圓積分函數的介紹 :
http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheSecondKind.html
另外Gamma function有一個很重要的性質 :
Γ(x)Γ(-x) = πx / sin(πx)
這裡的Γ函數跟一般不一樣，我直接把他定義成 x!，
可以利用sin(x)/x的無窮乘積式來推導

2009-04-08 17:19:30 補充：
如果要用Gamma function的話 :
∫[0,π/2] (1+ 2 sinx + 3 cosx)/√(sinx*cosx) dx =∫[0,π/2] ((sinx)^(-1/2)(cosx)^(-1/2)) dx+2∫[0,π/2]((sinx)^(1/2)(cosx)^(-1/2))dx+3∫[0,π/2]((sinx)^(-1/2)(cosx)^(1/2))dx=

2009-04-08 17:19:48 補充：
(1/2)B(1/4,1/4)+B(3/4,1/4)+
(3/2)B(1/4,3/4)=(((-3/4)!)^2)/2((-1/2)!)+((-1/4)!)((-3/4)!)+(3/2)((-3/4)!)((-1/4)!)=
5(√2)π/ 32 + ((-3/4)!)^2 / (2√π)
這裡Gamma function 我直接把他寫成 n!了
http://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html
Beta function

2009-04-08 18:06:05 補充：
第一題 :
∫[0,π] 1/√(3- cosx) dx = (√2)F(π/2 , i) = √2K(i) = √π/ (2((-1/4)!)^2)
這裡面有很詳細的介紹 :

2009-04-08 18:07:50 補充：
http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

2009-04-08 19:13:28 補充：
我好像有點算錯 :
(1.) π√π/ (2((-1/4)!)^2) 少乘一個π
(2.) 5(√2)π/ 2 + ((-3/4)!)^2 / (2√π) 前面那個是除以2才對，不是除以32
我用程式算過了，應該是沒錯才對...

Very good! 但Gamma(1/4)*Gamma(3/4)可求!

2009-04-08 16:28:15 補充：
這兩題都可用Gamma function表示!

(2)∫[0,π/2] (1+ 2 sinx + 3 cosx)/√(sinx*cosx) dx
=∫[0,π/2] [(sinx)^(-0.5)]*[(cosx)^(-0.5)] dx
+2∫[0,π/2] [(sinx)^(0.5)]*[(cosx)^(-0.5)] dx
+3∫[0,π/2] [(sinx)^(-0.5)]*[(cosx)^(0.5)] dx

2009-04-05 16:36:41 補充：
=(1/2)Beta[(-0.5+1)/2;(-0.5+1)/2]
+ 2(1/2)Beta[(0.5+1)/2;(-0.5+1)/2]
+3(1/2)Beta[(-0.5+1)/2;(0.5+1)/2]

2009-04-05 16:37:35 補充：
剛剛忘記加(1/2)!!

2009-04-05 16:54:48 補充：
=(1/2)Gamma(1/4)*Gamma(1/4)/√π
+2*(1/2)Gamma(3/4)*Gamma(1/4)/Gamma(1)
+3*(1/2)Gamma(1/4)*Gamma(3/4)/Gamma(1)

=(1/2)Gamma(1/4)*[(Gamma(1/4)/√π)+5*Gamma(3/4)]

2009-04-05 18:11:02 補充：
爬文後有找到Gamma(1/4)*Gamma(3/4)=√2 π
但我想不出來如何做的!