數列極限(一)

(1) a_0=1,a_1=2 觀察:
a_2=(a_0+a_1)/2=(1+2)/2=3/2
a_3=(a_1+a_2)/2=7/4
a_4=(a_2+a_3)/2=13/8
a_5=(a_3+a_4)/2=27/16
再來 a_2-a_1=(-1)/2,a_3-a_2=1/4
a_4-a_3=(-1)/8 a_5-a_4=1/16
......................................
a_n-a_(n-1)=(-1)^(n-1)/2^(n-1)
將上式全加得到:a_n-a_1=(-1)/2+1/4+(-1)/8+1/16-....+(-1)^(n-1)/2^(n-1)
=[(-1)/2(1-(-1/2)^(n-1))]/(3/2)
=(-1)/3[1-(-1/2)^(n-1)]
∴a_n=a_1-[1-(-1/2)^(n-1)]/3
=2-[1-(-1/2)^(n-1)]/3
lim(n->∞)a_n=2-1/3=5/3
(2)a_1=2,a_2=√(a_0)*(a_1)=2^(1/2)
a_3=√(a_1)*(a_2)=8^(1/4)=2^(3/4)
a_4=√(a_2)*(a_3)=2^(5/8)
.......................................
(a_1)/(a_2)=2^(1/2) (a_2/a_3)=2^(-1/4) (a_3/a_4)=2^(1/8)
.................(a_(n-1)/a_n)=2^[(-1)^(n-1)/2^(n-1)]
將上式全部相乘得到: (a_1)/(a_n)=2^[(1/2)-(1/4)+(1/8)-...+(-1)^(n-1)/2^(n-1)]
=2^[1-(-1/2)^(n-1)]/3
a_n=a_1/{2^[1-(-1/2)^(n-1)]/3}=2^{1-[1-(-1/2)^(n-1)]/3}
lim(n->∞)=2^(2/3)
剩下的我明天再完成 如有人已回答完整 我會把解答

2009-03-30 00:51:12 補充：
刪除除

2009-03-30 00:51:33 補充：
lim(n->∞)a_n=2^(2/3)

2009-03-30 11:55:39 補充：
何謂用積分式表示

這部分比較模糊

也許我的所學有限

2009-03-30 13:35:47 補充：
好亂啊!

有沒有提示

一點點就好

2009-03-30 13:42:51 補充：
我再想想看 這幾天如果想不出來

我會把答案移除

2009-03-31 09:56:54 補充：
橢圓積分??

糟了 這部分不熟@@



那種書可以找到這部分

2009-04-01 00:33:33 補充：
好啦 我試試看

2009-04-10 00:13:52 補充：
阿 我算的答案是錯的@@

(1)可以直接用二階遞迴通解

(2)取log後等價於(1)

豪兄:您作得很好,千萬別刪!
第(3)題與橢圓積分
F(a, b)=Int 1/sqr[a^2(cosx)^2+b^2(sinx)^2] dx 積分 x in[0~ pi/2]有關
要證明 F(a, b)= F[sqr(ab), (a+b)/2], for a, b>0

2009-04-01 00:00:28 補充：
蒙兄:別把問題想難了,其實只是積分式的轉換而已
證明: F(a, b)=F[sqr(ab), (a+b)/2], for 0



2009-04-01 00:06:57 補充：
for 0 < a < b
Hint: (1) 討論函數 t + ab/t 之單調性
(2) 適當代換證: F(a, b)= ∫[a, b] 1/sqr[(x^2-a^2)(b^2-x^2)] dx
(希望yahoo不要再出亂子!)

2009-04-12 16:29:00 補充：
Q1答案是 a(n)=[ 5- 2(-1/2)^n]/3
蒙兄第1題答案無誤!
Q2答案是 a(n)= exp(x), x= (2/3) ln2 *[ 1- (-1/2)^n]

2009-04-12 16:31:05 補充：
Q2: a(n)= 2^{2/3* [1-(-1/2)^n] }, n=0,1,2,3,...