空間立體區域的體積

我沒用微積分計算
先算出相交曲線投影到 xy 平面成一個橢圓
z^2 = x^2 + y^2, 4z - 3y - 20 = 0 ==> x^2 + y^2 = 3y/4 + 5
x^2 / (400/7) + (y - 60/7)^2 / (6400/49) = 1
所以長軸長為 80/7 短軸長為 20/√7
因此投影到平面的橢圓面積為 1600/(7√7)
又設θ為平面 4z - 3y - 20 = 0 與 xy 平面之夾角，則 cosθ= 4/5
由此可知兩區面相交之曲線在平面 4z - 3y - 20 = 0 上所圍成之面積為 1600/(7√7) * 5 / 4 = 2000/(7√7)
因為曲面 z^2 = x^2 + y^2 為一圓錐面所以兩曲面所圍成的體積可視為在平面 4z - 3y - 20 = 0 上兩曲線相交之橢圓為底，原點至平面 4z - 3y - 20 = 0 距離為高 ( 4 ) 的一個斜圓錐體
所以該區域之體積為 2000/(7√7) * 4 / 3 = 8000/(21√7)

2009-03-31 00:41:06 補充：
哇 我都少打了π

因此投影到平面的橢圓面積為 1600π/(7√7)

由此可知兩區面相交之曲線在平面 4z - 3y - 20 = 0 上所圍成之面積為 1600π/(7√7) * 5 / 4 = 2000π/(7√7)

所以該區域之體積為 2000π/(7√7) * 4 / 3 = 8000π/(21√7)

2009-04-02 22:49:07 補充：
謝謝 費瑪 提醒：

第三行 z^2 = x^2 + y^2, 4z - 3y - 20 = 0 ==> x^2 + y^2 = (3y/4 + 5)^2