微積分的series的問題？

1,2 找規律!!
1. a1= -(1/4) = (-1)1．(1/4) =(-1)1．(1/22)
a2= 2/9 = (-1)2．(2/9) =(-1)2．(2/(2+1)2)
a3= -(3/16) = (-1)3．(3/16) =(-1)3．(3/(3+1)2)
, ... ,
an= (-1)n．(n/(n+1)2)
lim an= 0
n→∞

2.a1=3+(-1)1+1．2 =5
a2=3+(-1)2+1．2 =1
a3=3+(-1)3+1．2 =5
, ... ,
an=3+(-1)n+1．2
因為 奇子數列收斂到 5, 偶子數列收斂到 1 , 由數列的極限的唯一性 (數列收斂必唯一)因此數列為發散
也可以這樣說 :
lim an ={ 5 , n :奇數
n→∞ { 1 , n :偶數
所以數列為發散


3. an= n+1/(3n-1)
lim an= lim 1+(1/n) / (3-(1/n)) =1/3
n→∞ n→∞

4. an= n/1+n(1/2) = n/ (1+ √ n)
lim an= lim ( √ n ．√ n )/ (1+(√ n )) =∞
n→∞ n→∞
數列發散

5. an= cos(2/n)
lim an= lim cos( 2/n)= cos0 =1 (收斂)
n→∞ n→∞


6. {n cos nπ}
顯然發散!

a1=1．cosπ=-1
a2=2．cos2π=2=2．(-1)2
a3=1．cos3π=-3=3．(-1)3
, ... ,
an=n．cosnπ=n．(-1)n 因此數列發散


7. an= (-3)n/n!
lim an= lim (-3)n/n!= 0 (收斂)
n→∞ n→∞


2009-04-06 10:49:39 補充：
第3題的部份
1+(1/n) / (3-(1/n)) =1/3 詳細過程

答:這只是將分子,分母同除以 n, 而
lim (1/n) =0
n→∞
所以1+(1/n) / (3-(1/n)) =1/3 (當n→∞)

lim (1/n) =0
n→∞
你可以想成 1/很大很大的數, 這樣他的值變的非常非常小,所以極限就是0

2009-04-06 10:55:27 補充：
an= (-3)^n/n!
為何是 0呢？

這是利用夾擠原理(也就是三明治定理)

an= (-3)^n/n! = (-3)(-3)(-3)...(-3)/[1．2．3．...．n]
(n次)
- 27/(2n) = - 3^4 / (1．2．3．n) ≤ an ≤ 3^4 / (1．2．3．n) = 27/(2n)

又
lim - 27/(2n) =0
n→∞
且
lim 27/(2n) =0
n→∞
再根據三明治定理可以得到
lim an = 0
n→∞

第1題: an=(-1)^n *n / (n+1)^2

第2題: an= 3+ 2*(-1)^(n-1)

第3題: lim(n->oo) an= lim(n->oo) (n+1)/(3n+1) = 1/3

第4題:
lim(n->oo) an = lim(n->oo) n/[1+ n^(1/2)]= oo (分子次方>分母次方)

第5題: csc(2/n) -> csc(0)= oo

第6題: lim(n->oo) n cos(nπ) = +oo or - oo (不存在)
(n為偶數時得 + oo, n為奇數時得 - oo)

第7題: lim(n->oo) (-3)^n/n! = 0, 原因如下
當 n>= 4 時 |(-3)^n/n! | < 27/6 *(3/4)^(n-3) -> 0
前面3項不管, 第4項開始,每項絕對值都會小於 (3/4)

1. {-1/4, 2/9, -3/16, 4/25, ...}

an = (-1)^(n+1) n / (2^(n+1))

2. {5,1,5,1,5,1, ...}

an = 3 + (-1)^(n+1) 2

2009-03-29 09:45:49 補充：
1~7 都是 sequence(數列) 不是 series (級數)

3. 1/3
4. diverges
5. 1
6. diverges
7. 0

簡單看一下先給你答案你自己先試試吧
(你可以先將 n 改為 x 然後做 lim_{x->∞})

2009-03-31 22:00:18 補充：
因為 lim 1/n = 0
所以很明顯

lim [1+(1/n)] / [3-(1/n)] =(1+0)/(3-0) = 1/3

2009-04-01 00:31:26 補充：
因為 lim_{n->∞} 1/n = 0

an= (n+1)/(3n-1) , an= [1+(1/n)] / (3-(1/n)) 如何變的？

分子分母同除以 n


an= (-3)^n/n! = (-3)(-3)(-3)...(-3)/[1*2*3*...*n]

- 27/(2n) = - 3^4 / (1*2*3*n) <= an <= 3^4 / (1*2*3*n) = 27/(2n)

(留前面三項根最後一項中間的一定比 1 小)

2009-04-01 00:31:43 補充：
又 lim_{n->∞} - 27/(2n) = lim_{n->∞} 27/(2n) = 0

再根據三明治定理可以得到 lim_{n->∞} an = 0