純數-多項式

題目必須限定 p不為0 !
α^3+qα+p=0 => α^2= - q - p/α
(β-γ)^2= -2q-α^2+2p/α=- q+3p/α
題意即: α,β,γ為 x^3+qx+p=0之三根,
求以 - q+ 3p/α, - q+3p/β, - q+ 3p/γ為三根之方程式
sol:設 x= - q + 3p/α=>α= 3p/(x+q)
代入 α^3+qα+p=0得
[3p/(x+q)]^3 + q*3p/(x+q) + p = 0
乘 (x+q)^3 / p 得
27p^2 + 3q(x+q)^2 + (x+q)^3=0
=> x^3 + 6qx^2 + 9q^2 x + 27p^2 + 4q^3 = 0 ----(A)

Q(c):
From part (b)
(i)若有兩根以上相等=> (β-γ)^2, (α-β)^2, (γ-α)^2 必含0
得三根乘積=0, 即(A)式三根相乘=0, 故 27p^2+ 4q^3 =0
(ii)α,β,γ為相異實根=>(A)式三根均為正數
=>三根相乘>0 => 27p^2+4q^3 < 0
若αβγ含虛根 =>(A)三根乘積< 0 => 27p^2+ 4q^3 >0
故αβγ三相異實根<=> 27p^2+4q^3 < 0

2009-03-31 17:58:49 補充：
同埋想問b part "hence"個度係咪要爆哂出黎先計到??
翻成普通話吧!

No... you need not do that ..

by the result of b)

we can find out the pattern :

(β-γ)^2=-2q-α^2+2p/α
(α-β)^2=-2q-γ^2+2p/γ
and (α-γ)^2=-2q-β^2+2p/β

and α+β+γ=0 ; αβ+αγ+βγ= q , αβγ= -p

(β-γ)^2+(α-β)^2+ (α-γ)^2
=(-2q-α^2+2p/α)+(-2q-γ^2+2p/γ)+(-2q-β^2+2p/β)
=-6q - (α^2+β^2+γ^2)+2p (αβ+αγ+βγ)/αβγ
=-6p - (α+β+γ)^2+2 (αβ+αγ+βγ)+2p (αβ+αγ+βγ)/αβγ
=-6p - (0)^2+2(q)+2p(q)/-p
=-6p

(β-γ)^2(α-β)^2+ (α-β)^2 (α-γ)^2+(β-γ)^2 (α-γ)^2
=(-2q-α^2+2p/α)(-2q-γ^2+2p/γ)+(-2q-β^2+2p/β)(-2q-α^2+2p/α)+(-2q-γ^2+2p/γ)(-2q-β^2+2p/β)
=12 q^2 + 4q(α^2-2p/α+γ^2-2p/γ+β^2-2p/β)+(α^2+2p/α)(γ^2-2p/γ)+(γ^2-2p/γ)(β^2-2p/β)+(β^2-2p/β)(α^2-2p/α)
=12q^2+(α^2+2p/α)(γ^2-2p/γ)+(γ^2-2p/γ)(β^2-2p/β)+(β^2-2p/β)(α^2-2p/α)
=12q^2+(-3q^2)
=9q^2//

(β-γ)^2(α-β)^2 (α-γ)^2
=-27(αβγ)^2-4(αβ+αγ+βγ)^3
=-27p^2-4q^3

so they are the roots of x^3+6qx^2+9q^2 x+27p^2+4q^3 - 0

當 a 係alpha , b 係beta , c 係 gamma

要睇下
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 :
(a-b)^2 (a-c)^2 + (a-b)^2 (b-c)^2 + (b-c)^2 (a-c)^2 :
(a-b)^2 * (b-c)^2 * (a-c)^2 是否等於
-6q : 9q^2 : -(27p^2 + 4q^3)

2009-03-28 17:54:09 補充：
c)i 27p^2 + 4q^3 = 0 for 兩個根equal
因為如果其中兩個根equal , 新equation的其中一個根必定為0
所以constant會係0 => 27p^2 + 4q^3 = 0

p=q=0 for 三個根equal,
同理 , 當a,b,c為相等時,新equation就只 0 這個根
所以

6q = 0 and
9q^2 = 0 and
27p^2 + 4q^3 = 0

{p.q}只有一個解 : {0,0}

2009-03-28 18:04:05 補充：
當 x^3 + px + q = 0 裡有複根時 , 就必定有一對共軛的複根和一個實根 ,

假設 a , b 是一對共軛複根 , c 為實根

考慮equation x^3 + 6qx^2 + 9q^2 x + 27p^2 + 4q^3 = 0
有根 (a-b)^2 , (a-c)^2 , (b-c)^2

2009-03-28 18:04:08 補充：
a-b 是pure imaginary , 其平方為負數
a-c 與 b-c 為共軛 , 他們的平方也是 而他們的積為一個複數的模,是正實數
因此equation x^3 + 6qx^2 + 9q^2 x + 27p^2 + 4q^3 = 0
既product of roots 是 (+)(-) = 負數
而product of roots 是 -( 27p^2 + 4q^3 )

因此當 x^3 + px + q 的根是real and distinct
-( 27p^2 + 4q^3 ) 為正數 所以 -( 27p^2 + 4q^3 ) > 0
27p^2 + 4q^3 < 0

2009-03-28 18:07:05 補充：
係 x^3 + qx + p = 0 先岩 ..