數學問題(2) (又是有關級數的問題)

Let f(x) = x^2 for –π< x <= π and f(x + 2π) = f(x)

By means of Fourier series, since f is an even function, we have

　　　　　　　∞
f(x) = a0 / 2 + Σ an cos nx
　　　　　　　1

　　　　　　　　π　　　　　π　　　　　　　　　π
where a0 = 1/π∫ x^2 dx = 2/π∫ x^2 dx = 2/π x^3/3│= 2π^2/3
　　　　　　　　-π　　　　　0　　　　　　　　　0

　　　　　　π
and an = 1/π∫ x^2 cos nx dx
　　　　　　-π

　　　　　　π
　　　= 2/π∫ x^2 cos nx dx
　　　　　　0

　　　　　　　π
　　　= 2/nπ∫ x^2 d sin nx
　　　　　　　0

　　　　　　　　　　　π　　π
　　　= 2/nπ(x^2 sin nx│ 　- ∫ sin nx dx^2 )
　　　　　　　　　　　０　　０

　　　　　　　π
　　　= -4/nπ∫ x sin nx dx
　　　　　　　0

　　　　　　　π
　　　= 4/n^2π∫ x d cos nx
　　　　　　　0

　　　　　　　　　　　　π　　π
　　　= 4/n^2π(x cos nx│ 　- ∫ cos nx dx )
　　　　　　　　　　　　0　　0

　　　　　　　　　　　　　　　　π
　　　= 4/n^2π(πcos nπ - sin nx/n│ )
　　　　　　　　　　　　　　　　0

　　　= 4cos nπ/n^2

　　　= 4(-1)^ n / n^2

Therefore
　　　　　　　∞
f(x) = π^2 / 3 + Σ4(-1)^ n / n^2 cos nx
　　　　　　　1
Put x = π,

　　　　　　　∞
f(π) = π^2 / 3 + Σ4(-1)^ n / n^2 cos nπ
　　　　　　　1

　　　　　　　∞
π^2 = π^2 / 3 + Σ4 / n^2
　　　　　　　1
∞
Σ1 / n^2 = π^2 / 6
1

用歐拉既方法:

由於 sin(x) 有根 0 , pi , - pi , 2pi , -2pi ....


所以sin(x)可以寫成 :
(coefficient of x) * x * ( 1- x/pi)(1+x/pi)(1-x/2pi)(1+x/2pi)....

又由於 sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

coefficient of x 是 1
所以
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ... = x( 1- x/pi)(1+x/pi)(1-x/2pi)(1+x/2pi)...
= x(1 - x^2/pi^2)(1 - x^2/4pi^2).....

比較3次既系數
得出
-1/6 = -( 1/pi^2 + 1/4pi^2 + 1/9pi^2 + ...

所以 1/1 + 1/4 + 1/9 + .... 1/n^2 + .. = pi^2/6


然後比較5次既系數
得出 1/120 = 1/pi^4 [ sum to infinity k=1 j=1 k=/= j , (k^2 j^2)]

又由於
(sum k=1 , xk)^2 = {sum k=1 xk^2 }+ 2 {sum k=1 j=1k=/=j , (xk)(xj)}

所以 (1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ..)^2 =
(1/1^4 + 1/2^4 + 1/3^4 + .........) + 2* pi^4 / 120
(1/1^4 + 1/2^4 + 1/3^4 + .........) = (1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ..)^2 - 2* pi^4 / 120
= (pi^2 /6)^2 - pi^4/60
= pi^4 ( 1/36 - 1/60)
= pi^4 / 180 (5-3)
= pi^4 / 90