✔ 最佳答案
板大你好：
(1) ∫t exp(-3t) cos(2t) dt，[0,∞]
SOL：
考慮∫t exp(-st) cos(2t) dt，[0,∞]，最後在將 S → 3，直接計算如下：
Ｌ[ cos(2t) ] = s/( s^2 + 4 )
→ Ｌ[ t cos(2t) ] = - d/ds [ s/( s^2 + 4 ) ] = (s^2 - 4)/(s^2 + 4)^2
觀察上式被積分函數，S → 3拉式轉換存在，因此：
lim(S → 3) ∫t exp(-st) cos(2t) dt
lim(S → 3) (s^2 - 4)/(s^2 + 4)^2 = 5/169.....................###
今天時間多，跑程式驗證如下：
>> int(t * exp(-3*t) * cos(2*t),0,inf)
ans =
5/169
(2) ∫1/t exp(-2t) sin(2t) dt，[0,∞]
SOL：
同理於第(1)題，考慮∫1/t exp(-st) sin(2t) dt，[0,∞]，最後在將 S → 2，直接計算如下：
Ｌ[ sin(2t) ] = 2/( s^2 + 4 )
→ Ｌ[ 1/t cos(2t) ] = ∫2/( s^2 + 4 ) ds，[s,∞]
= π/2 - atan( s/2 )
觀察上式被積分函數，S → 2拉式轉換存在，因此：
lim(S → 2) ∫1/t exp(-st) sin(2t) dt
lim(S → 3) π/2 - atan( s/2 ) = π/4.............................###
一樣，跑程式給你：
>> int(1/t* exp(-2*t) *sin(2*t),0,inf)
ans =
1/4*pi
希望對你有幫助，不懂在提出來問吧！！！
你補充的問題，取I.E？ 我不知道什麼是I.E 能說明嗎-.-
別取笑我阿~~~
2009-03-17 13:20:04 補充：
Allen ( 初學者 2 級 ) 大大
我不是故意在你回答後又回答的-.-
有人答了通常我會用補充的，我打到一半WC回來才發的><，希望你別介意。
2009-03-17 13:24:22 補充：
給板主：
2t^2+積分sin(4u)f(t-u)du(從0積到t)
2 t^2 + ∫sin(4u) f(t - u) du，[0,t]
你是要計算拉式轉換嗎？
是的話後面是迴旋積分，跟你開反問的2題不同喔！
我今天晚上有課，有問題我下課回來在跟你討論摟。
2009-03-17 14:27:02 補充：
大家都在學拉式，我提醒板主喔！
我上面有說：
『觀察上式被積分函數，S → 3拉式轉換存在，因此：』
沒錯，不是你喜歡 S 代多少就可以代多少，有時候 S 是不能代的。
不過這2題都是可以代的。
2009-03-17 23:30:31 補充：
喔喔，你好板大，我剛剛上課有上到 I.E.
原來是積分方程式-.- ，太久沒碰這兩個字-.-
例: 2 t^2 + ∫sin(4u) f(t-u) du，[0,t]
= 2 t^2 + sin(4t) * f(t)
take Laplace → 4/S^3 + 4/(S^2 + 16) F(S)...............................................###
PS： * 為迴旋積分
2009-03-17 23:33:07 補充：
可以說明一下什麼況狀下S是不能帶入計算?????? 謝謝~~~~
比如.....
Ｌ[ exp( 3t ) ] = 1/( s - 3 )
這個 你 S 代 上面兩題的 2 或 3 都會出錯喔！
2009-03-17 23:34:31 補充：
等你往後學，再1~2小節
學到拉式反轉換 以及 穩定性的分析
我比較好解釋。
2009-03-18 02:57:20 補充：
題二: Ｌ[ sin(2t) ] = 2/( s^2 + 4 )
→Ｌ[ 1/t cos(2t) ] = ∫2/( s^2 + 4 ) ds，[s,∞]
(請問這為什麼是用積分而且原本是sin(2t)，為什麼要換成cos(2t))
請大大解釋一下謝謝~~
----------------------------------以上複製---------------------------------------
我對不起了~"~
我複製的第一題的，忘記改成sin
不過板主放心，我後面是從心算的，答案跟過程都正確。
僅僅將 cos(2t) 換成 sin(2t) 即可。
2009-03-18 02:58:35 補充：
因為我新加入知識+ ，對於排版很不熟悉，
就把第一題辛苦排的複製，結果夠了改那項，抱歉了^^"
2009-03-18 03:03:39 補充：
不好意思這個地方有點不懂:
題一: → Ｌ[ t cos(2t) ] = - d/ds [ s/( s^2 + 4 ) ] = (s^2 - 4)/(s^2 + 4)^2
(請問上式是t的n次方作n階微分嗎????)...請問如果t^2那是不是微2次)
------------------------------以上複製-----------------------------------
定理：假設 f(t) 存在拉式轉換，且可表示為 F(s)：
Ｌ[ t f(t) ] = - d/ds [ F(s) ]
當然，乘 t^2 就微分2次再補上2次負號在前方(當然摟！會變正的)
2009-03-18 03:13:09 補充：
既然是定理，證明也補給你：
Ｌ[ t f(t) ] = ∫ t f(t) exp(-st) dt，[0,∞]
= -∫ f(t) d/ds [exp(-st)] dt，[0,∞]
= - d/ds [∫ f(t) exp(-st) dt]，[0,∞]
= - d/ds [F(s)]........................................................................###
2009-03-18 17:42:30 補充：
Ｌ[ 1/t sin(2t) ] = ∫2/( s^2 + 4 ) ds，[s,∞]
請問一下為什麼一個用微分一個用積分????
是因為1/t的關系嗎????
--------------------------------以上複製-------------------------------
對的，一樣是定理
定理：假設 f(t) 存在拉式轉換，且可表示為 F(s)：
Ｌ[ t f(t) ] = ∫ F(s) ds， [s,∞]
2009-03-18 17:44:20 補充：
打錯...1/t 才對，複製太順手>< sorry
Ｌ[ 1/t f(t) ] = ∫ F(s) ds， [s,∞]
我晚上有課，回來補正明給你。
第一個證明上面給過了！
2009-03-18 22:18:14 補充：
Ｌ[ 1/t f(t) ] = ∫ F(s) ds， [s,∞]
證明補再下面：
∫ exp(-st) ds，[s,∞] = 1/t exp(-st)
Ｌ[ 1/t f(t) ] = ∫1/t f(t) exp(-st) dt，[0,∞]
= ∫∫ f(t) exp(-st) ds dt， 內[s,∞]、外[0,∞]
= ∫∫ f(t) exp(-st) dt ds， 內[0,∞]、外[s,∞]
= ∫F(s) ds，[s,∞]....................................................................###
2009-03-19 00:10:24 補充：
最後我想在請問一個微積分的問題???
∫2/( s^2 + 4 ) ds，[s,∞] =2{1/2tan^-1(s/2)}, [∞~s]
s帶∞ .......tan^-1∞/2=π/2
s帶s........ tan^-1(s/2)}
π/2-tan^-1(s/2)|s=2 ，tan^-1(2/2)=π/4
π/2-π/4=π/4...........請問是不是這樣????(怎麼覺得怪怪的)
---------------------------以上複製----------------------------
都對了阿~~~沒地方怪怪了，雖然步驟多了些ㄒㄒ..
2009-03-19 00:15:31 補充：
有我看到了，你亂改上下限-.-.........[s~∞] 下限s，上限∞ 才對的。
喔喔。我是 [下限 ,上限] 可能跟版大習慣相反，所以你覺得怪怪的！
∫2/( s^2 + 4 ) ds，[s,∞] = 2{1/2tan^-1(s/2)}， [s~∞]
= tan^-1(s/2)}， [s~∞]
= π/2 - π/4
= π/2....................................................................###
2009-03-19 00:15:52 補充：
有不明白的地方，再討論吧。
