橢圓與矩形

1
假設切線斜率為m
對於橢圓x2/a2+y2/b2=1 (a>b)
切線方程式為y=mx+√(m2a2+b2) 及 y=mx-√(m2a2+b2)
這兩條切線距離為[2√(m2a2+b2)]/√(m2+1)
令它等於L
而垂直的切線斜率為 -1/m
切線方程式為my=-x+√(m2b2+a2) 及 my=-x-√(m2b2+a2)

這兩條切線距離為[2√(m2b2+a2)]/√(m2+1)
令它等於W
L2=4a2- 4(a2-b2)/(m2+1)
W2=4b2+ 4(a2-b2)/(m2+1)
因為有對稱，所以可以假設 0<= m <=1就好
再令X=4(a2-b2)/(m2+1) ，那麼 2(a2-b2)<= X <= 4(a2-b2)
L2W2=(4a2-X)(4b2+X)
=-X2-4(a2-b2)X+16a2b2
=-[X-2(a2-b2)]2+4(a2+b2)2
當X= 2(a2-b2) 時，L2W2有最大值4(a2+b2)2
外切矩形最大面積=2(a2+b2)2

2
假設這個內切橢圓方程式為x2/a2+y2/b2=1
矩形一邊的斜率為m
把上面的方法逆運算可得
a2=(A2/4)+(A2-B2)/4(m2-1)
b2=(B2/4)-(A2-B2)/4(m2-1)
令Y=(A2-B2)/4(m2-1) ， Y<= -(A2-B2)/4
a2b2= -[Y+(A2-B2)/8]2+(A2+B2)2/64
當Y=-(A2-B2)/4時，a2b2有最大值A2B2/16
橢圓面積= πAB/4


2009-03-19 10:16:52 補充：
只是我們看的角度不同

2009-03-19 18:41:18 補充：
沒有一定
只是這樣比較簡單

2009-03-21 19:40:44 補充：
呵呵!!好久沒用亞斯這個名字了
選聘網關了，YLL又很少去

複製貼上後忘了改
真抱歉!!

咦！為什麼橢圓方程式一定是x^2/a^2+y^2/b^2=1呢？
x^2+xy+y^2=1也是橢圓啊！

2009-03-19 14:44:39 補充：
嗯！我的意思是：
為什麼橢圓方程式一定可以寫成x^2/a^2+y^2/b^2=1呢？

Yes!

1. 好像是 2(a^2 + b^2) 外切矩形是斜率 -1, 1 的正方形

2009-03-20 02:41:39 補充：
因為長軸短軸確定了橢圓的形狀及性質就確定了
而老王給的方程比較簡單
其他形式的橢圓可由此一橢圓平移旋轉得出
因此用 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 來討論即可