Challenging effective mass

自由人's intuition is totally right!

我不太曉得版大是從哪看到說水平方向彈簧的 effective mass 是 0 ? 事實上最簡單的情況下考慮，不管是水平還是垂直，effective mass 都是 1/3。

我不打算在這邊寫下推導過程，因為在這裡打數學方程式是蠻痛苦的一件事... 不過我會給出簡單的 arguement，及一些參考資料。

1) 維基百科中垂直方向的證明方法是有效的，也是大部分教科書上寫的；但請注意一下，推導過程中根本沒有涉及重力，方程式中的 m 是在動能項中出現 ( 1/2 mv2 )，也就是說它代表的是儲存動能的 "慣性"，而不是重力。所以這個推導也該適用於沒有重力影響 ( 水平 ) 的情況。

2) 再換個 arguement：
所謂 effective mass，其實主要指對週期的影響。
例如在 spring mass = 0 的理想情況，週期 T2 = 4 pi2 ( M / k )
加入 effective mass 的修正，週期 T2 = 4 pi2 ( M + meff / k )
從週期公式可看到，T 跟重力加速度 g 值的大小無關! 也就是說此彈簧不管在地球上、月球上、還是太空中，其週期都是一樣的；而理想中水平情況等效於無重力。

當然並不是說重力全無影響，例如只要想一下就知道，彈簧垂直時會被稍為拉長，也就是說原點 ( 平衡的位置 ) 位移了。在簡單的情況下，這位移量相當於一個理想的 massless spring，但下面除了原物體 M 以外，還多掛了 1/2 m 的重量。

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Effective mass = 1/3 是最簡單的情形，它有用到一個假定，就 m << M；通常力學教科書多寫到這裡為止。而一些 advanced 一點的則會討論到額外的修正。

一般來講，會作出此修正的，有兩種情況：
(1) m >> M
(2) 彈簧不是硬的，而是軟的。也就是說彈簧下端因不用承受本身的重量，而上端卻要，所以彈簧上下端受力不同，拉長量也不再是普通線性，而是會像下圖一樣：

圖片參考：http://link.photo.pchome.com.tw/s08/cheongsou/2/123812961933/

(1) 及 (2) 看似兩種不同的情況，實質上卻是相通的。例如 (2) 的情況中，若懸掛的重物 M >> m，則彈簧的上 / 下端不均勻情況就變得可忽略。

而在 m >> M 的情形下，此時 effective mass 會趨向 4 / pi2 = 0.405...

圖片參考：http://link.photo.pchome.com.tw/s08/cheongsou/2/123812948380/

關於這個，可參考 [2] 的論文，裡面有詳細的推導。而 [3] 則主要討論軟彈簧的情形，文章比較簡單，可讀性比[2]高。


[1] M = hanging mass , m = spring mass
[2] "The Effective Mass of an Oscillating Spring" Amer. J. Phys., 38, 98 (1970)
[3] "Effective Mass of an Oscillating Spring" The Physics Teacher, 45, 100 (2007)


PS.
自由人大大不必驚訝 Wiki 也是這樣寫，因為.... 那條目就是版大所寫的!So，我想版大該條改一下內容了；而且我認為 m >> M 的情形也很基本，或許維基中也該列入。至於原本連結的兩篇日本論文，所討論的elastic after-effect，則是另外的效應，基本上我沒看過其他地方有討論過 ( 那兩篇文章好像也沒甚麼人 cite 的樣子...) 。


2009-03-27 16:53:35 補充：
忽然想到：

彈簧的週期與 g 無關，與 M 有關。
單擺的週期與 M 無關，與 g 有關。
兩者都是 SHO，但完全相反，蠻有趣的...

2009-03-27 17:04:02 補充：
對比兩個長得幾乎一樣的公式，得出：
單擺 vs 彈簧
L ~= M
g ~= k
"~=" 是相當於的意思。

單擺是動能 ( M, V ) 與重力位能間的轉換( L, g )。
彈簧則是動能 ( M, V ) 與彈性位能間的轉換( M, k )。

嗯.... 物理果然好像蠻有道理的樣子....

我之所以說水平方向彈簧的effective mass是0，是因為那時中學的高考物理科老師說的（彈簧與質量系統是屬於高考課程範圍之內）。

計算起來，我在2005年開始讀中六（中六是高考課程第一年），而中六的時候物理科老師就教我彈簧與質量系統。即是說，我足足被那位高考物理科老師誤導了接近3年半！！！

如果假設彈簧上離固定端 x 的點，其運動速度 v(x) 會跟 x 成正比，那可以積分出彈簧動能為 mv^2/ 6 ，其中 v 是木塊的速度，m是彈簧質量。如此一來可以把彈簧有效質量當作 m/3.

但這論點對其他系統我不太理解為什麼不能用？例如水平彈簧系統的彈簧有效質量是0？這令我有點驚訝，而我剛發現維基百科竟然給出一樣的結論。

我的想法是以上的所有系統應該彈簧有效質量都是 m/3. (暫時的猜測)，大家可以多討論。

2009-03-15 13:15:09 補充：
In the case of horizontal spring-mass system, though the direction of gravity is perpendicular to the motion of the massive spring, the mass of the spring do play a role in influencing the motion of the system, isn't it?

2009-03-15 13:15:36 補充：
So, my intuitive notion is that the effective mass of the horizontal spring-mass system cannot be zero.

2009-03-28 23:48:39 補充：
感謝Kaworuweb的認真，也高興答案更明朗了。

而物理有趣的地方常常是看似不同的現象卻有一樣的道理～