多項式的最高公因式及最低公倍式……

１.已知二多項式f(x)與g(x)同除以x平方-x-2的餘式分別為2x+1及3x-2，試求：
(1) .2f (x)-g(x)除以x-2的餘式
(2).f(x)乘g(x)除以x+1的餘式
解設f(x)=( x -2)( x +1)Q1(x)+(2 x +1)
g(x)= (x-2)( x +1)Q2(x)+(3x-2)
(1) 2f (x)-g(x)=2( x -2)( x +1)Q1(x)+2(2 x +1)- [(x-2)( x +1)Q2(x)+( 3x-2)]
2f (2)-g(2)= 2(2 x +1)- ( 3x-2)=x+4=6
(2) f(-1)乘g(-1)= (2 x +1) 乘(3x-2)=(-1) 乘(-5)=5
答: (1)6 ，(2)5

２.二多項式f(x)=x三次平方+2x平方+3x+k，g(x)=x三次平方+4x平方+9x-k，若k不等於零且f(x)與g(x)的H.C.F為二次式，試求：
(1).K之值為何？
(2).f(x)與g(x)之最低公倍式=？
解: f(x)= x^3+2x^2+3x+k
g(x)=x^3+4x^2+9x-k
(1)去首相: 2式相減 2 x平方+6x-2k
去常數項: 2式相加 得2x^3+6x^2+12x=2x(x^2+3x+6)
因x不能整除.f(x)，g(x) 故不能為公因式
故2/1=6/3=(-2k)/6
所以k=-6
(2) H.C.F為x^2+3x+6
LCM=f(x)‧g(x)/HCF
=(x^3+2x^2+3x-6)( x^3+4x^2+9x+6)/ (x^2+3x+6)
=(x-1) (x^3+4x^2+9x+6)
=x^4+3x^3+5x^2-3x-6
答: (1) k=-6，(2) x^4+3x^3+5x^2-3x-6



2009-03-18 22:44:13 補充：
用餘式定理
因除式x+1，令x+1=0，x=-1代入
f(-1)乘g(-1)= (2 x +1) 乘(3x-2)=(-1) 乘(-5)=5

2009-03-19 23:15:17 補充：
代入
f(x)=( x -2)( x +1)Q1(x)+(2 x +1)
g(x)= (x-2)( x +1)Q2(x)+(3x-2)
則f(-1)=0+ (2 x +1)= -1
g(-1)=0+(3x-2)= -5
故餘式(-1)*(-5)= 5

1.
f(x)與g(x)同除以x平方-x-2的餘式分別為2x+1及3x-2
∴f(x)=p(x)(x^2-x-2)+2x+1
g(x)=q(x)(x^2-x-2)+3x-2
(1).2f(x)-g(x)= (x-2)M(x)+x+4
∴[2f(x)-g(x)]/(x-2)=M(x)...6

(2).f(x)×g(x)=(x+1)×N(x)+6x^2-x-2
∴[f(x)×g(x)]/(x-1)=N(x)...3

2.
f(x)=x^3+2x^2+3x+k
g(x)=x^3+4x^2+9x-k
由輾轉相除法
g(x)=f(x)×1+2×(x^2+3x-k)
f(x)=(x^2+3x-k)×(x-1)+(6+k)x

(1).K之值
因為HCF為二次式
∴6+k=0
k=-6

(2).f(x)與g(x)之最低公倍式
因為k=-6
∴HCF=x^2+3x+6
f(x)=(x^2+3x+6)×(x-1)
g(x)=(x^2+3x+6)×(x+1)
∴最小公倍式：(x^2+3x+6)×(x-1)×(x+1)
=x^4+3x^3+5x^2-3x-6

2009-03-14 14:45:20 補充：
f(x)=p(x)(x^2-x-2)+2x+1
g(x)=q(x)(x^2-x-2)+3x-2
(1).2f(x)-g(x)= (x-2)M(x)+x+4
上式的意思是
2f(x)-g(x)= [2×p(x)(x^2-x-2)+q(x)(x^2-x-2)]+2×(2x+1)-(3x-2)
因為(x^2-x-2)=(x+1)(x-2)，所以上式提出(x-2)
= (x-2)M(x)+x+4

其中M(x)代表著[2×p(x)(x^2-x-2)+q(x)(x^2-x-2)]提出(x-2)後的因式
因為不用管前面的東西所以可以用一個x的函數代表
餘式只會和後面有關

這樣解說您有了解了嗎~^^

2009-03-14 14:48:43 補充：
^^"~我第一題第二小題錯了
6x^2-x-2
x以(-1)代入
應該是5

dophin大大對囉~^^

2009-03-18 20:11:49 補充：
dophin大大是利用餘式與根的關係
f(-1)×g(-1)= (2 x +1) ×(3x-2)
=[2×(-1)+1]×[3×(-1)-2]
=(-1) ×(-5)
=5