微積分活用

1. 同取 ln, 再除以 πe, 比大小即可
即比較 lne / e , lnπ/π之大小
2. 設函數 f(x) = lnx/ x, x>0
f'(x)= (1- lnx)/x^2
=> x>e時, f'(x)<0, f(x)遞減
=> f(e)> f(π), 即 ln(e)/e > ln(π)/ π
故 e^π > π^e

f(x)=ex-xe-->
f '(x)=ex-ex(e-1) is increasing for x>1
-->eπ>πe


2009-03-11 20:48:04 補充：
嗯 多謝指教
我只是直覺想到 沒有深思

好方法!合理的思考方向
應該沒有更好的了!
晚點給最佳,讓大家欣賞欣賞
用計算機算23.多>22.多還蠻接近的

2009-03-11 20:28:28 補充：
To rex大 :感謝你的捧場
雖然你設的函數看起來很好
但f'>0並不 implies that x>1,(代x=1.2=>f'<0)
又即使如此也無法 implies that e^ π>π^e
不是說你設的函數不行,
而是這兩步推理都有問題,可否再修看看
若依你所設的函數你必須x>=0=>f'(x)>0
這樣x>0為遞增,而有f(π)>f(0),then e^ π>π^e

2009-03-11 20:36:19 補充：
更正,rex應證明x>e=>f'(x)>0
這樣π>e=>f(π)>f(e)=> e^ π- π^e >e^e-e^e=0
=>e^ π> π^e