一個直角三角形, 直角邊分別為 a 和 b,內藏一個半徑 r 的半圓形,
求 r 之最大值。(以 a , b 表示)
幾何難題 : 直角三角形容半圓
2009-03-07 6:45 am
回答 (2)
2009-03-07 4:28 pm
✔ 最佳答案
圖片參考：http://f23.yahoofs.com/myper/2KdYg4CUHwRj4AR9qyK78efvSQ--/blog/F23_20090307082524409.jpg?TTAwFtJBjReKXhYS
由畢式定理可知斜邊為√(a^2+b^2)
最大的圓其實就是內接圓
看圖應該可以知道AD=AF且CE=CF，這是需要證明的
可知AB+BC=AD+DB+BE+EC=AF+r+r+CF=AC+2r
所以r=[a+b-√(a^2+b^2)]/2
就是 (二股相加-斜邊)/2
2009-03-07 13:34:25 補充：
我真的看錯了
最大的半圓為直徑在斜邊上，且和邊a和邊b都相切
假設半圓半徑為r
由相似三角形可知a:b=a-r:r
內項相乘=外項相乘可得ab-br=ar
所以可以得到r=ab/(a+b)
2009-03-07 10:03 am
r和三角形面積A成正比
所以當Amax時r為最大值
現在若a+b=constant=c
a=c-b
A=b(c-b)/2
求極值
dA/db=-2b+c=0
c=2b
由此可知當a=b時有r的最大值
此時值角三角形三邊為a,a,(√2)× a
由海龍定理知
A=r×S/2 (S為周長)
∴r=2A/S=a^2/{[(√2)+1]× a} =[(√2)-1]× a
Ans： r 之最大值為[(√2)-1]× a
2009-03-07 22:11:48 補充：
^^",sorry
我錯了~sorry~
所以當Amax時r為最大值
現在若a+b=constant=c
a=c-b
A=b(c-b)/2
求極值
dA/db=-2b+c=0
c=2b
由此可知當a=b時有r的最大值
此時值角三角形三邊為a,a,(√2)× a
由海龍定理知
A=r×S/2 (S為周長)
∴r=2A/S=a^2/{[(√2)+1]× a} =[(√2)-1]× a
Ans： r 之最大值為[(√2)-1]× a
2009-03-07 22:11:48 補充：
^^",sorry
我錯了~sorry~
參考: Meself
收錄日期: 2021-04-11 00:59:19
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090306000051KK01824