萬有引力函數積分問題

首先你第一個問題，一個函數對橫軸座標 x 積分的確是曲線與橫軸所圍出的面積，但注意到，這個面積的定義是有正負的！當你的曲線是橫過三、四象限的時候，面積就是負的。也就是說，某函數的積分是把【函數值】乘上小小的 dx 然後加起來，函數值是可正可負的！這是第一個觀念不太正確的地方。

第二個，萬有引力對距離的積分部份。因為我們處理的是三圍空間中的向量場的沿某路徑的【線積分】，在路徑上每一點我們都要算力跟小小位移 dr 的內積，然後全部加起來。注意內積值是可正可負的！在萬有引力的情況下，由於位能的定義是你把某質點從無窮遠處緩慢且等速的移到某 r 處所需做的功，你施力必定要朝著無窮遠處(因重力是吸引力)，而你的沿著路徑的位移是反朝著無窮遠處，於是力跟位移的內積是負值，因此位能積出來自然是負的了。

2009-03-07 10:14:19 補充：
學物理從小時候就要盡量要求自己，知道自己寫下的每條式子到底在講什麼，某個變數代表什麼物理量，你有這疑惑提出來是好習慣。
首先把問題定義清楚：考慮兩個質點，一個質量M固定在原點，當另一個質點 m 跟M距離 r 的時候，他們的位能是 - GMm/r

2009-03-07 10:16:37 補充：
Why? 其實很簡單，這裡位能的物理定義是把m從無窮遠移到 r 處【你】所需做的功，因為重力是吸引力，從無窮遠處到 r 你出的力必定是要撐住 m 不讓他加速，也就是說一定跟 m 的移動方向反向，這麼一來你不是做負功嗎？所以位能自然是負的了。

2009-03-07 10:20:20 補充：
在我上面舉的例子中，萬有引力對位移(即你說得距離)積分就是正的沒錯！
重點在力跟位移的內積到底是正是負。

到下面的網址看看吧

▶▶http://qaz331.pixnet.net/blog

抱歉
雄中最近考試比較忙所以沒上來看
後來我又去問了好多人其實我们的物理輔助教材就有完整的定義與推導 只不過還沒教而已
不過各位的回答真的是超詳細的以致於我不知要選誰 只好投票啦

再次謝謝個位

你要的答案，參考看看我上課的說明。
http://100phy01.4shared.com，位能-D-引力位能

網址中也有部份在知識家幫學生解題時上傳的影片，
那些影片可以先下載完再播放，是DVD畫質的解析度，
如果直接線上觀看，串流傳送解析度很差！

k中？是第1志願的k中嗎？

想看其他影片？先參考目錄【 高二高三影片】再告訴我
【[email protected]】張老師

積分不一定都是正的阿
若y=sinx
則∫sinx dx=-cosx+c

再者，萬有引力對距離的積分
您是在求太空動力學的做功問題嗎
此時，
萬有引力與距離(位置向量)為反向
自然積分起來會是負

在力學裡面
你要先區別他是向量還是純量
正負號可能只是它的方向性喔

^^~希望這樣回答有幫助到你

2009-03-07 01:36:40 補充：
能量也有負的阿
做功負的就是做負功
最常見的做負功例子就是摩擦力

做功是力的向量和位移的向量做內積的運算
如果牽涉到路徑可變
那就屬於線積分的範疇(大學微積分)

建議你先別急著用積分來解題
先把基本觀念在加強一點
用一些基本的公式穩扎穩打來加強觀念

如果真的要用積分等觀念
那就先不要探討太多他的意義
因為知識要循序漸進的去了解
一次學太快可能會有反效果的喔

你也可以藉由多問點題目來熟悉你的觀念
沒有題目一直看這個文字也挺煩的,對吧!?~^^

2009-03-07 01:40:54 補充：
重力做功是「重力位能」
重力是保守力(做功只與位移有關的力)
而保守力做功通稱為位能

還有一種保守力
彈簧力
彈簧力做功就稱為「彈力位能」

1.不一定是+吧..如果對-x做0到1積分你會得到-1/2 不過面積是1/2

2.萬有引力是r^-2次方 做積分會正比於-1/r 此時是不定積分
至於妳說為什麼永遠是負值是跟位能的定義有關阿~因為我們把無窮遠處定為0...不管用算的還是用想的 任何小於無窮大的值都是負的