微積分...分部積分法

∫udv=uv-∫vdu
1.u=x,dv=e^(ax), du=1,v=[e^(ax)]/a
→x/a × e^(ax)-∫[e^(ax)]/a dx
=x/a × e^(ax)-[e^(ax)]/(a^2)+ c

2.u=lnx, dv=x^n, du=1/x, v=nx^(n-1)
→lnx × nx^(n-1)-∫nx^(n-2) dx
=lnx × nx^(n-1)-(n/(n-1)) × x^(n-1)+ c

3.u=tan^-1(x), dv=1, du=1/(1+x^2), v=x
→x×tan^-1(x)- ∫x/(1+x^2) dx
→x×tan^-1(x)- 1/2 × ln|1+x^2| + c

4.這題比較複雜，容許我跳步驟不然會打很多^^"
如果真的看不懂我可以再解釋
直接用Integral by part 做兩次可得
∫e^x sin 2x dx=-e^x × (cos2x)/2 +e^x × (sin2x)/4-1/4 × ∫e^x sin 2x dx
再把積分項移項至等號左邊，化簡後可得
∫e^x sin 2x dx=e^x/5 × [sin2x-2cos2x] + c

5.先令lnx=u, dx=e^u du
原積分式可改寫：
∫e^u sinu du
利用第四題的觀念即可求得答案
∫e^u sinu du= e^u /2 × [sinu-cosu] + c
在代換回來
∫sin (㏑ x) dx=x/2 × [sin(㏑ x)-cos(㏑ x)] + c

2009-03-12 17:06:18 補充：
更正如下
2.u=lnx, dv=x^n, du=1/x, v=x^(n+1)/(n+1)
→lnx ×x^(n+1)/(n+1)-∫ x^n/(n+1)dx
=lnx ×x^(n+1)/(n+1)- x^(n+1)/(n+1)^2 + c

謝謝破碎夢痕

第2題
dv=x^n
v=(x^(n+1))/n+1

5題解好打在部落格了

請參考

http://tw.myblog.yahoo.com/jw!MzrNP26WEQGhSK38VVgw65jHu8SqpKQs_20V2A--/article?mid=169&prev=-1&next=167#rtemodule