中一對稱數學問一問<10點>幫幫手

這是個很有趣的問題,要清楚說明雖要一點技巧,但並不困難。

結論是否定的,證明如下 :

首先,任何一個圖形(當然包括六邊形),在旋轉360度後必會重合,即任何圖形的旋轉對稱次數至少等如 『1』。

設六邊形的6條邊依順時針方向分別為 L1, L2, L3, L4, L5, L6。

我們以 L1 這條邊為對象,以它與其他邊各種重合的情況來討論各種旋轉對稱次數的可能。以下的討論以順時針旋轉為前提。

情況一 : 設六邊形在第一次旋轉重合時, L1 與 L2 重合,則明顯在第二、三、四、五、六次旋轉重合時, L1 分別與 L3、L4、L5、L6及L1(自己本身)重合,這時旋轉對稱次數等於『6』。

情況二 : 設六邊形在第一次旋轉重合時, L1與 L3 重合,則在第二、三次旋轉重合時, L1 分別與 L5 及 L1本身重合,即旋轉對稱次數等於『3』。

情況三 : 設六邊形在第一次旋轉重合時, L1與 L4重合,則下一次旋轉重合時,L1 和 L1本身重合,這就是旋轉對稱次數等於『2』的情況。

情況四 : 設六邊形在第一次旋轉重合時, L1與 L5 或 L6重合,
則在第二次旋轉重合時, L1 與 L3 或 L5重合,但這個結論是不合理的,因為明顯它跳過(忽略)了 L1 與 L1本身重合這個必然的結果,茅盾!也就是說,六邊形在第一次旋轉重合時, L1一定不會與 L5 或 L6重合,即這個情況四不存在。

最後情況: 設六邊形在第一次旋轉重合時, L1 與 L1自己本身重合,即旋轉對稱次數為『1』。

綜上所述,任何六邊形的旋轉對稱次數只可能是 『1 , 2 , 3 或 6次』,

因此可以斷言,『旋轉對稱次數等於4的六邊形是不存在的。』

利用以上的方法,易知一個一般性的結論 :

『一個 N 邊形的旋轉對稱次數只可能是 N 的因子』

例如本題情況當 N= 6, 6的因子分別有 1 , 2 , 3 及 6,所以六邊形的旋轉對稱次數只有這幾種情況。

若多邊形的邊數 P 是質數,則此多邊形的旋轉對稱次數就只有1次或 P 次的可能。

『1 』是任何數的因子,因此任何圖形的旋轉對稱次數至少都有一次。

旋轉對稱次數等於4的六邊形是不存在的

如果是旋轉對稱 = 4 , 即是轉90度, 要旋轉4次

不論是正六邊形或者非正六邊形, 都不能夠分成 4 份完全一樣的圖案

六邊形可以是旋轉對稱次數 = 6 或 3 或 2 , 但不是 4