請教教我怎證明..

a2 + b2 = (a+b) (a+b) - 2ab
a2 + b2 = (a+b) (a-b) + 2a2
由以上兩式可知:
(a+b，a2+b2)同時是 2ab及 2a2的因數,
而 2ab = 2a * b , 2a2 = 2a * a ,由於 a 和 b最大公因數是 1,即(a,b)=1
所以(a+b，a2+b2)是『 2a』 的公因數, 所以 :
(a+b，a2+b2)同時是 『a+b』及 『2a』的公因數,
所以(a+b，a2+b2)只能是『2』或『a的因數』,
『a的因數』之中明顯只有『1』是『 a+b』的因數( 因為(a,b)=1 )
結論 : (a+b，a2+b2) = 1 或 2




2009-03-10 18:13:03 補充：
(2a+1,9a+4)能整除 (9a + 4) - 4*(2a+1) = (9a + 4) - (8a + 4) = a

即(2a+1,9a+4)能同時整除 2a+1 和 a,

(2a+1,9a+4)明顯等如 1 。

2009-03-10 18:18:08 補充：
第一題 a^2 + b^2 = (a+b) (a-b) + 2a^2應是

『a^2 + b^2 = (a+b) (b-a) + 2a^2』

Sorry for my mistake!

2009-03-10 19:04:16 補充：
(a+b，a^2+b^2)是『2』或『a的因數』,還可能是『2』* 『a的因數』,不過
a的因數只有『1』能整除『a+b』,所以『2』* 『a的因數』也只有2*1= 2的可能,結論不變。

(a+b，a^2+b^2)
=(a+b,2ab)
=(a+b,2ab-2(a+b)b)
=(a+b,2b^2)
if a+b is even and a<b
(a+b,2b^2)
=2(a+b,b^2)
=2
if a+b is odd
(a+b,2b^2)
=1
(2a+1,9a+4)=1
用輾轉相除法
9a+4=4(2a+1)+a
2a+1=2(a)+1
therefore 1 is the largest factor.