根與係數關係變化(三)

a, b, c, d為x^4+2x^3+x+1=0之四根
所以 a^4+2a^3+a+1=0
a^3+2a^2=-1-1/a (顯然a,b,c,d都不是0)
A=-1-1/a
同理 B=-1-1/b
C=-1-1/c
D=-1-1/d
對x^4+2x^3+x+1=0作倒根變換得
x^4+x^3+2x+1=0的四根為1/a,1/b,1/c,1/d
1/a+1/b+1/c+1/d=-1
A+B+C+D=-4-(-1)=-3
(A+B+C)(A+B+D)(A+C+D)(B+C+D)
=(-3-D)(-3-C)(-3-B)(-3-A)
=(-2+1/a)(-2+1/b)(-2+1/c)(-2+1/d)
=2^4+2^3+2*2+1
=29

2009-02-20 16:04:47 補充：
回阿番
倒根變換是將x用1/x代入通分去掉分母所得的新多項式

=(-2+1/a)(-2+1/b)(-2+1/c)(-2+1/d)
=(-1)^4[(2-1/a)(2-1/b)(2-1/c)(2-1/d)]
=(2-1/a)(2-1/b)(2-1/c)(2-1/d)
就是將2代入倒根變換後的多項式

拍拍手!兩個關鍵的地方都被發倔出來
果然是高中數學老師
一看題目想必有trick
算對我也不會答,除非想到速解與trick

設 p為a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a(1)x+a(0)=0之根 , a(0)不為0,
則1/p為a(0)x^n+a(1)x^(n-1)+...+a(n)=0之一根,
即係數順序"全部"相反=>根為倒數

面目黧黑的老王大大:解的較精簡
請教1.倒根變換是三次項和二次項係數顛倒嗎?
2.=(-2+1/a)(-2+1/b)(-2+1/c)(-2+1/d)
=2^4+2^3+2*2+1 (此行如何得來)