2階數學矩陣問題

版主你好：我不知道你要不要證明，先給你解題過程吧！

　　　┌２２┐
　Ａ＝└１３┘

先找特徵值（λ）與對應的特徵向量（Ｘ）：
　　　　　
　ｄｅｔ（Ａ－λＩ）＝（λ－１）（λ－４）＝０

λ1 = 1 　=>　Ｘ１＝［２　-１］*
λ2 = 4 　=>　Ｘ２＝［１　 １］*

將矩陣A對角化，取 Ｐ＝┌ ２ １┐、Ｄ＝┌１０┐
　　　　　　　　　　　└-１ １┘　　　└０４┘

Ａ　＝　Ｐ Ｄ (Ｐ^-1)

(1)eigen value = 1 、４．．．．．．．．．．．．．．．＃＃＃

(2)A^n

Ａ^n　＝　(Ｐ) (Ｄ^n) (Ｐ^-1)
　　　
　　　＝┌ ２ １┐┌ 1　０ ┐┌ 1/3 -1/3┐
　　　　└-１ １┘└ ０ 4^n ┘└ 1/3　2/3┘．．．．＃＃＃

(3)Cos(A)

Cos(Ａ)　＝　(Ｐ) (Cos(Ｄ)) (Ｐ^-1)
　　　
　　　　＝┌ ２ １┐┌ Cos(1)　０ ┐┌ 1/3 -1/3┐
　　　　　└-１ １┘└ ０ Cos(4^n) ┘└ 1/3　2/3┘．＃＃＃

2009-02-21 22:54:29 補充：
要證明這個定理在跟我說阿...我再補上
一搬來說都適用而已，少證明這個。

2009-02-22 01:16:49 補充：
此類的問題通常2種方法：
１．上敘的方法，稱做對角化( diagonal )法
　　會用到　"特徵值"　與　"特徵向量"。

２．如果你不想使用"特徵向量"，那就用地2種方法
　　卡來-和莫頓定理(Cayley - Hamilton Thm.)，補充如下。

******PS:第三題成開也一定會對-.-******
此種題目我一年要算好多遍>

2009-02-22 01:25:15 補充：
此題 eigenvalue 並無重根，因此特徵多項是就是最小多項式，如下：

Φ(x) = (x - 1)( x - 4 )

Φ(x)　帶入　x＝１與x＝４，會得到　Φ(x)＝０
上面是由 eigenvalue 的性質知道。


＊＊＊＊＊＊＊＊＊　　　補充說明　　　＊＊＊＊＊＊＊＊＊　

Φ(A)　帶入　x＝A，會得到　Φ(A)＝０
上面是 Cayley - Hamilton Thm. 的內容

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

2009-02-22 01:39:11 補充：
法二：
茲取　Cos( x ) = Φ(x)R(x) + (αx + β)
　　***你可以當作"被除數 = 除數*商 + 餘數"***

分別將 x = 1、4、A 帶入，並整理如下：

　　Cos( 1 ) = α + β　　　　　　　α ＝ 1/3[Cos( 4 ) - Cos( 1 )]
｛　　　　　　　　　　目視可得｛
　　Cos( 4 ) = 4α + β　　　　　　　β ＝-1/3Cos( 4 ) + 4/3Cos( 1 )



最後將α、β帶入下式：

2009-02-22 01:46:36 補充：
Cos( A )　= αA + β
　　　　=┌ 1/3Cos( 4 )- 2/3Cos( 1 )　　1/3Cos( 4 )- 2/3Cos( 1 )┐
..　　　　└　　　Cos( 1 )　　　　 　２/3Cos( 4 )-5/3Cos( 1 ) ┘...＃＃＃

2009-02-22 02:11:21 補充：
真的累了我.....是　　Cos( A )　= αA + βI

((((((((((((((((((　　βI　　))))))))))))))漏乘一個單位矩陣，更正如下。

2009-02-22 02:17:46 補充：
Cos( A )　= αA + β
　　　　=┌ 1/3Cos( 4 )- 2/3Cos( 1 )　　2/3Cos( 4 )- 2/3Cos( 1 )┐
..　　　　└ 1/3Cos( 4 )- 1/3Cos( 1 ) 　 ２/3Cos( 4 )+1/3Cos( 1 ) ┘...＃＃＃


答案根法一相同。
法一中，
Cos(Ａ)　＝　(Ｐ) (Cos(Ｄ)) (Ｐ^-1)
　　　
　　　　＝┌ ２ １┐┌ Cos(1)　０ ┐┌ 1/3 -1/3┐
　　　　　└-１ １┘└ ０ Cos(4)　┘└ 1/3　2/3┘．＃＃＃
Cos(4^n)筆誤更正為Cos(4)

註: A'表A之transpose
Q1:
det(A-xI)=0 => x^2- 5x + 4=0 , x= 1, 4

x=1相對之eigenvector取[2, -1]'
x=4相對之eigenvector取[1, 1]',
則A=PDP^(-1) , P=[2 1//-1 1], D=[1 0//0 4], P^(-1)=[1 -1// 1 2] / 3

Q2:
A^n = PD^nP^(-1)= [2+4^n 2*4^n -2 // 4^n-1 2*4^n + 1] /3

exp(iA)=Pexp(iD)P^(-1)= (1/3)*(以下矩陣)
[ 2exp(i)+exp(4i) -2exp(i)+2exp(4i) ]
[- exp(i)+exp(4i) exp(i)+2exp(4i) ]
exp(-iA)同上,但 i 改為 - i

Q3:
Cos(A)=[exp(iA)+exp(-iA)]/2 ( exp(ix)= cosx+i sinx )
= (1/3)*(以下矩陣)
[ 2cos1+cos4 -2cos1+2cos4]
[- cos1+cos4 cos1+2cos4 ]
註:希望沒打錯!

2009-02-22 13:39:27 補充：
另法:C-H定理
det(A-xＩ)=0 => x^2 - 5x + 4=0
x^n除以 x^2-5x+4餘式= [(4^n -1) x + (4 - 4^n) ]/3
=>A^n = [(4^n -1) A + (4 - 4^n) *Ｉ ]/3
=[2+4^n 2*4^n -2 // 4^n-1 2*4^n + 1] /3
請問有錯嗎?