微分方程式 導數存在問題

f(x) = (x - 1)^3(x + 1) 當 x < -1

f(x) = -(x - 1)^3(x + 1) 當 -1 < x < 1

f(x) = (x - 1)^3(x + 1) 當 x > 1

f(1) = f(-1) = 0


lim x→1+ [f(x) - f(1)] / (x - 1)

= lim x→1+ [(x - 1)^3(x + 1) - 0] / (x - 1)

= lim x→1+ (x - 1)^2(x + 1)

= 0

lim x→1- [f(x) - f(1)] / (x - 1)

= lim x→1- [-(x - 1)^3(x + 1) - 0] / (x - 1)

= lim x→1- [-(x - 1)^2(x + 1)]

= 0

由於f'(1)+ = f'(1)- = f'(1) = 0

所以，x = 1導數存在。


lim x→-1+ [f(x) - f(-1)] / [x - (-1)]

= lim x→-1+ [-(x - 1)^3(x + 1) - 0] / (x + 1)

= lim x→-1+ [-(x - 1)^3]

= -(-1 - 1)^3

= 8

lim x→-1- [f(x) - f(-1)] / [x - (-1)]

= lim x→-1- [(x - 1)^3(x + 1) - 0] / (x + 1)

= lim x→-1- (x - 1)^3

= (-1 - 1)^3

= -8

由於兩邊導數極不相符，且又不等於f'(-1)

所以，x = -1導數不存在。

當然, 你可以把 f(x) 在不同的 x 區間微分之後, 然後取左右極限, 看看結果是否一樣. 不過, 我們不妨想想, 導數存在的意義何在?
大體上來說, 只要是有 "折點", 在折點的左右兩邊, 微分值會不一樣, 造成一階導數不存在. 但是如果是平滑的, 沒有折點, 那麼就存在一階導數.
令 g(x)= (x-1)^3 (x+1), 那麼在 x= 1 及 -1 時, g(x) 會變號. 在 x= -1 時, 因為 g(x) 只含有 (x+1) 的一次式, 所以在 x= -1 會形成折點, 造成一階導數不存在.
反觀在 x=1 時, 因為 g(x) 含有 (x-1) 的三次式, 所以在 x=1 的三階導數才會不存在, 但是一階及二階的導數都還是存在的. 而且, 一階及二階的倒數都是 0.
我們舉個簡單的例子好了.
h1(x) =|x| , 那麼在 x = 0 處的一階倒數就不存在, 因為 x<0 時, 一階導數為 -1; x>0 時, 一階導數為 1.
h2(x) =|x^3|, 那麼在 x=0 處的一階倒數及二階倒數都是 0, 但是三階導數會不存在.