根與係數關係變化(一)

根據根與系數關係得知:
a+b+c+d=-2, ab+ac+ad+bc+bd+cd=0, abc+abd+acd+bcd=-1, abcd=1
由(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)得到
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)
而a+b+c=-2-d, ab+bc+ac=-ad+bd+cd=-d(a+b+c)=d(2+d)
所以a^2+b^2+c^2=(-2-d)^2-2d(2+d)=(2-d)(2+d)
同理可推出其他3個等式
因此原題=(2-d)(2+d)(2-c)(2+c)(2-b)(2+b)(2-a)(2+a)
=(2-a)(2-b)(2-c)(2-d)(-2-a)(-2-b)(-2-c)(-2-d)
因為a, b, c, d為x^4+2x^3+x+1=0之四根
所以x^4+2x^3+x+1=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
x分別以2和-2代入得到
(2-a)(2-b)(2-c)(2-d)=35
(-2-a)(-2-b)(-2-c)(-2-d)=-1
所以(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+d^2)(a^2+c^2+d^2)(b^2+c^2+d^2)
=35*(-1)
=-35

2009-02-20 18:02:19 補充：
a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

=(-2)^2-0=4

一開始沒想到....ˋˊ

原式=
(a^2+b^2+c^2+d^2-d^2)(a^2+b^2+d^2+c^2-c^2)(a^2+c^2+d^2+b^2-b^2)(b^2+c^2+d^2+a^2-a^2)
=(4-d^2)(4-c^2)(4-b^2)(4-a^2)
........
意思是如此囉

何不直接求出 a^2+b^2+c^2+d^2= 4 呢?