所圍成之三角形面積為何?

1.
設f(x)=ax^2+bx+c，則列出三元一次方程式
a*1^2+b*1+c=4 → a+b+c=4
a*(-1)^2+b*(-1)+c=4 → a-b+c=4
a*0^2+b*0+c=0 → c=0
解得(a,b,c)=(4,0,0)
f(x)=4x^2，所有可以整除f(x)(餘式為0)的多項式都是其因式；
例如4、2x、4x^2、7x^2、19x等等。
2.
5x+7=a(x+1)+b(x - 1) → 5x+7=(a+b)x+(a-b)，比較係數得a-b=7
3.
1^2-2^2+3^2- 4^2+。。。+19^2-20^2+21^2
=1^2+(-2^2+3^2)+(- 4^2+5^2)。。。+(-18^2+19^2)+(-20^2+21^2)
平方差公式
=1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+......+(19+18)(19-18)+(21+20)(21-20)
=1+5+9+11+13+.....+41
=11*(1+41)/2
=231
還有另一種算法：
1^2-2^2+3^2- 4^2+。。。+19^2-20^2+21^2
=Σ(k=1到21)k^2 - 2*Σ(k=1到10)(2k)^2
=Σ(k=1到21)k^2 - 8*Σ(k=1到10)k^2
=21*22*43/6 - 8*10*11*21/6
=231
4.
三線交於(0,0)、(-8,-8)、(0,-4)三點，其中有一邊是垂直線，以其當底，
底長=0-(-4)=4，高=0-(-8)=8，面積=(1/2)*底*高=(1/2)*4*8=16
5.
下列何者為多項式? (1)(1/x)+4，(2)(√2x)+8，(3)13/(5x - 4)，(4)(6√x)+2。
(1)不是，x不能在分母
(2)是，係數是無理數或有理數皆可
(3)不是，x不能在分母
(4)不是，x不能在根號裡

2. 5x+7=a(x+1)+b(x - 1)=ax+a+bx-b=(a+b)x+(a-b)
所以 5x=(a+b)x , 7=(a-b)
即 a-b = 7

4. 先求三直線所形成的三角形之三個頂點(交叉點),
x - y=0，x - 2y=8 的交叉點為 (-8,-8)
x - 2y=8，x=0 的交叉點為 (0,-4)
x - y=0，x=0 的交叉點為 (0,0)
再求 (0,-4)和 (0,0)的距離為 4, 即底長為 4
(-8,-8) 和 直線x=0的距離為 8, 即高為 8
故三角形面積 = 底*高 / 2 = 4*8/2 = 16

1 用餘式定理 x 必為f(x)之因式
2 5x+7=a(x+1)+b(x - 1)
5x+7=(a+b)x+(a - b)
=> a-b=7
3 1^2 - 2^2+3^2 - 4^2+。。。+19^2 - 20^2+21^2
=-[(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+...+(20^2-19^2)]+21^2
=-[(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+...+(20-19)(20+19)]+21^2
=-[3+7+11+15+19+23+27+31+35+39]+21^2
=231
4
考慮x - y=0，x - 2y=8之交點為(-8,-8)
而x - 2y=8，x=0之交點為(0,-4)
三角形面積
=(1/2)(4)(8)
=16
5 (1)不是多項式﹐因為X出現在分母中
(2) 是多項式
(3)不是多項式﹐因為X出現在分母中
(4) )不是多項式﹐因為X的次方不是正整數