入學試數學難題

. 將5件不同的禮品全部分給甲、乙、丙、丁四人，且每人至少有1件禮品，試問有多少種不同的分法？

甲、乙、丙、丁
2 , 1 , 1 ,1
1 , 2 , 1 , 1
1 , 1 , 2 , 1
1 , 1 , 1 , 2
有4種不同的分法

1. 將5件不同的禮品全部分給甲、乙、丙、丁四人，且每人至少有1件禮品，試問有多少種不同的分法？
甲、乙、丙、丁四人選一人得到2件禮品=>C(4,，1)
5件不同的禮品選出二種分給同一人=>C(5，2)
分法=C(4，2)*C(5，2)*3!=4*10*6=240

2. 設f(x)為二次多項式函數，其圖形通過(1,2),(2,2),(3,4)。試問f(4)=?
(方法1)
設f(x)=ax^2+bx+c
f(1)=a+b+c=2--------------(1)
f(2)=4a+2b+c=2----------(2)
f(3)=9a+3b+c=4----------(3)
(2)-(1) 3a+b=0-------------(4)
(3)-(2) 5a+b=2-------------(5)
(5)-(4) 2a=2
a=1------------------(6)代入(4)
3+b=0
b=-3-----------------(7)代入(1)
1+(-3)+c=2
c=4------------------(8)
f(x)=x^2-3x+4
f(4)=16-12+4=8
(方法2)
令f(x)=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+2
f(2)=b(2-1)+2=2
b=0
f(x)=a(x-1)(x-2)+2
f(3)=a(3-1)(3-2)+2=4
a=1
f(x)=(x-1)(x-2)+2
f(4)=(4-1)*(4-2)+2=8

3. 試問x+y+z=10且0<z<8，共有幾組正整數解？
(1)Z=1=>X+Y=9=>10組
(1)Z=2=>X+Y=8=>9組
(1)Z=3=>X+Y=7=>8組
(1)Z=4=>X+Y=6=>7組
(1)Z=5=>X+Y=5=>6組
(1)Z=6=>X+Y=4=>5組
(1)Z=7=>X+Y=3=>4組
4+5+6+…+10=(4+10)*(10-4+1)/2=14*7/2=35

1. 將5件不同的禮品全部分給甲、乙、丙、丁四人，且每人至少有1件禮品，試問有多少種不同的分法？
答:
5件不同抽4件分給四人有5P4=120種分法,把最後一件分給其中一人有4種分法,120*4=480,但這樣分到兩件的人重計了一次,所以有480/2=240種分法。

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2. 設f(x)為二次多項式函數，其圖形通過(1,2),(2,2),(3,4)。試問f(4)=?
答:
設f(x)= ax^2+bx+c

有: 2 = a(1)^2+1b+c
2 = a(2)^2+2b+c
4 = a(3)^2+3b+c

即 2 = a+b+c...............Ⅰ
2 =4a+2b+c............Ⅱ
4 =9a+3b+c............Ⅲ

Ⅱ-Ⅰ: 3a+b=0..... Ⅵ
(Ⅲ-Ⅰ)/2 : 4a+b=1...... V

V-Ⅵ : a = 1
由Ⅵ : b = - 3
代以上入Ⅰ : c = 4
所以 f(x) = x^2 - 3x + 4
f(4) = 4^2 -3*4 + 4
= 8

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3. 試問x+y+z=10且0<z<8，共有幾組正整數解？
答 :
當 : z=1, x+y=9, x,y有8組解
z=2, x+y=8, x,y有7組解
z=3, x+y=7 , x,y有6組解
z=4, x+y=6 , x,y有5組解
z=5, x+y=5 , x,y有4組解
z=6, x+y=4 , x,y有3組解
z=7, x+y=3 , x,y有2組解

綜上共有 8+7+6+5+4+3+2 = 35組解

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我答第二題啦
先設f(x)=a+bx+cx^2

由於圖形通過(1,2),(2,2),(3,4),
f(1)=2, f(2)=2, f(3)=4

f(1)=2 => a+b(1)+c(1)^2=a+b+c=2
f(2)=2 => a+b(2)+c(2)^2=a+2b+4c=2
f(3)=4 => a+3b+c(3)^2=a+3b+9c=4

得出3條equation
(i) a+b+c=2
(ii) a+2b+4c=2
(iii) a+3b+9c=4

(i)-(ii): b+3c=0
b=-3c

代b=-3c入(iii) :
a+3(-3c)+9c=4
a=4

代a=4及b=-3c入(i) :
4+(-3c)+c=2
4-2c=2
c=1

b=-3c=-3(1)=-3

f(x)=a+bx+cx^2=4-3x+x^2
f(4)=4-3(4)+(4)^2
=4-12+16
=8

簡單 你係唔識??
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000