微積分應用之人造衛星問題(1)

GM/R2 = g => GM=gR2=k ，粗體字為向量
人造衛星質量<<M，故~M，取原圖中OB為+x軸，向左轉
1.
r=rer => r'=r'er + rθ'eθ => r''=[r''-rθ'2]er + [2r'θ' + rθ'']eθ
重力為聯心力 => r''-rθ'2= -k/r2，2r'θ' + rθ''= 0
2r'θ' + rθ''= 0 => 2rr'θ' + r2θ''= 0 => r2θ'= c，c為常數
而 c = r(rθ') = Lv0
r2θ'= c => d/dt = (c/r2)(d/dθ) => d2r/dt2 =(c/r2){d[(c/r2)(dr/dθ)]/dθ}
令 1/r = u 代入得 r'' = -c2u2 ( d2u/dθ2)
=> -c2u2 ( d2u/dθ2) - c2u3 = -ku2 => (d2u/dθ2)+u = k/c2
=> 1/r = u = k/c2 + Acos(θ-θ0)
初始條件：θ= 0，r=L；(dr/dθ)θ=0 = 0 代入得
θ0 = 0 , A = 1/L - k/c2
=> r = (L2v02/gR2)*{1/[1+(Lv02/gR2 -1)cosθ]}
2.
由題意，R≤r(θ)
=> 2 - Lv02/gR2 ≤ 1+(Lv02/gR2 -1)cosθ ≤ L2v02/ gR3
=> 2gR3 / [L(L+R)] ≤v02 => vm=√{2gR3 / [L(L+R)]}
3.
v0= λvm
解R=r(θ)
1+(λ2Lvm2/gR2 -1)cosθ = λ2L2vm2/ gR3
=> cosθ = (2λ2L-L-R)/(2λ2R-R-L) = (0.28L-R)/(0.28R-L)
θ = cos-1[(0.28L-R)/(0.28R-L)]
最後的答案還滿符合物理直觀的，λ越小，θ會越小

不知道答案是否正確，有點複雜，沒檢查....

A掉落地球過程之移動曲線是橢圓
若只分析A掉落過程中的一小段則可近似為拋物線

2009-02-11 15:28:24 補充：
.....字型怎變那麼怪

有些是次方

2009-02-11 15:34:48 補充：
µ~M

2009-02-11 15:57:08 補充：
上學期剛好在教古典力學^^

2009-02-11 16:38:40 補充：
r^2θ'= c => dt = (r^2/c)dθ=> dr/dt = (c/r2)(dr/dθ) = -c(du/dθ)

再用一次dt = (r^2/c)dθ

=> d^2r/dt^2= -c^2u^2(d^2u/dθ^2)

2009-02-11 16:48:02 補充：
(L/g)(vo/R)^2 - 1 應該是正的吧

2009-02-12 00:09:50 補充：
我認為也許是我們定義的e有差

你認知的應該是1/(1- e cosx)

所以你認為e是負的

但是我所知的物理教材都採e是正的定義

那個正負號只差在遠日點或近日點

但是卻不會影響(L/g)(vo/R)^2 -1 是否為正或負

2009-02-12 00:27:48 補充：
哦，我發現一件事，題目說的是"離地心O最遠處，速度為vo"

我一直把vo想成近日點的速率...

真抱歉浪費您的時間來說明!

2009-02-12 10:25:40 補充：
所以 是近點或遠點要從vo與L來決定(如果不加入A點遠點的條件)

難怪我覺得我的假設

A點是近地點的想法怪怪的，很不對稱

2009-02-15 22:28:17 補充：
補充中應該不能貼圖了吧？

所以要給圖只能附網址？

我怎麼看都覺得維基的 µ 怪怪的

wiki好複雜,看不下去了!

2009-02-11 15:52:18 補充：
真高興,阿飄您終於出手了!

2009-02-11 16:12:04 補充：
其實橢圓的離心率 (L/g)(vo/R)^2 - 1 是負的!

2009-02-11 16:32:30 補充：
太厲害了! Q1,Q2,Q3全對.
另:
r2θ'= c => d/dt = (c/r2)(d/dθ) => d2r/dt2 =(c/r2){d[(c/r2)(dr/dθ)]/dθ}
好亂, 不容易看懂!

2009-02-11 22:56:07 補充：
e=(L/g)(vo/R)^2 -1 < 0 沒錯, 因A點為遠地點,
so, θ=π時 r(π)為最小值

2009-02-12 00:13:40 補充：
1. 若A為近地點,則A永遠不會墜地
橢圓上與焦點F最近處即靠近F之長軸端點,
若A為近地點,而OA=L>R, 則橢圓上任意點 r 均 > L >R,
故永遠不會墜地
2. 題目已明指A為遠地點,之所以這麼作,除了上述原因外,
另因是遠地點衛星的動能最小,送上衛星所須能量也最小

2009-02-12 00:20:27 補充：
我心想的橢圓是 r= d/(1+e cosθ) 沒錯啊!

2009-02-12 00:36:06 補充：
剛開始我也一直取A為近地點,但求墜地之θ時卻得無解,好灰心!
後來才想到橢圓近地點與焦點最接近這件事,故題目上特地標明
最遠處

2009-02-15 23:32:07 補充：
補充區只能附網址,甚至上下標,字體,顏色等都沒有!

朋友﹐你想用自己文字作答or維基?。

還有這題也可以參考:
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7008110301035

2009-02-10 15:13:49 補充：
要用維基都要用得有智慧點吧

2009-02-10 16:38:46 補充：
都是以 polar coordinate 的 vector 製出 differential equations, 然後解之.