✔ 最佳答案
GM/R2 = g => GM=gR2=k ，粗體字為向量
人造衛星質量<<M，故~M，取原圖中OB為+x軸，向左轉
1.
r=rer => r'=r'er + rθ'eθ => r''=[r''-rθ'2]er + [2r'θ' + rθ'']eθ
重力為聯心力 => r''-rθ'2= -k/r2，2r'θ' + rθ''= 0
2r'θ' + rθ''= 0 => 2rr'θ' + r2θ''= 0 => r2θ'= c，c為常數
而 c = r(rθ') = Lv0
r2θ'= c => d/dt = (c/r2)(d/dθ) => d2r/dt2 =(c/r2){d[(c/r2)(dr/dθ)]/dθ}
令 1/r = u 代入得 r'' = -c2u2 ( d2u/dθ2)
=> -c2u2 ( d2u/dθ2) - c2u3 = -ku2 => (d2u/dθ2)+u = k/c2
=> 1/r = u = k/c2 + Acos(θ-θ0)
初始條件：θ= 0，r=L；(dr/dθ)θ=0 = 0 代入得
θ0 = 0 , A = 1/L - k/c2
=> r = (L2v02/gR2)*{1/[1+(Lv02/gR2 -1)cosθ]}
2.
由題意，R≤r(θ)
=> 2 - Lv02/gR2 ≤ 1+(Lv02/gR2 -1)cosθ ≤ L2v02/ gR3
=> 2gR3 / [L(L+R)] ≤v02 => vm=√{2gR3 / [L(L+R)]}
3.
v0= λvm
解R=r(θ)
1+(λ2Lvm2/gR2 -1)cosθ = λ2L2vm2/ gR3
=> cosθ = (2λ2L-L-R)/(2λ2R-R-L) = (0.28L-R)/(0.28R-L)
θ = cos-1[(0.28L-R)/(0.28R-L)]
最後的答案還滿符合物理直觀的，λ越小，θ會越小
不知道答案是否正確，有點複雜，沒檢查....
A掉落地球過程之移動曲線是橢圓
若只分析A掉落過程中的一小段則可近似為拋物線
2009-02-11 15:28:24 補充：
.....字型怎變那麼怪
有些是次方
2009-02-11 15:34:48 補充：
µ~M
2009-02-11 15:57:08 補充：
上學期剛好在教古典力學^^
2009-02-11 16:38:40 補充：
r^2θ'= c => dt = (r^2/c)dθ=> dr/dt = (c/r2)(dr/dθ) = -c(du/dθ)
再用一次dt = (r^2/c)dθ
=> d^2r/dt^2= -c^2u^2(d^2u/dθ^2)
2009-02-11 16:48:02 補充：
(L/g)(vo/R)^2 - 1 應該是正的吧
2009-02-12 00:09:50 補充：
我認為也許是我們定義的e有差
你認知的應該是1/(1- e cosx)
所以你認為e是負的
但是我所知的物理教材都採e是正的定義
那個正負號只差在遠日點或近日點
但是卻不會影響(L/g)(vo/R)^2 -1 是否為正或負
2009-02-12 00:27:48 補充：
哦，我發現一件事，題目說的是"離地心O最遠處，速度為vo"
我一直把vo想成近日點的速率...
真抱歉浪費您的時間來說明!
2009-02-12 10:25:40 補充：
所以 是近點或遠點要從vo與L來決定(如果不加入A點遠點的條件)
難怪我覺得我的假設
A點是近地點的想法怪怪的，很不對稱
2009-02-15 22:28:17 補充：
補充中應該不能貼圖了吧？
所以要給圖只能附網址？
