為何當X趨近於0的時候sinX=X而不是0?

sinx在0+和0-的極限都連續且→0
所以可以直接代值
lim(x→0)sinx=sin(0)=0

2009-02-10 11:06:48 補充：
Talor Series
f(x)=∑(n=0~∞)[(d^n f(a))/dx^n]/(n!)]×(x-a)^n
　 =f(a)+[f'(a)/1!]×(x-a)+[f''(a)/2!]×(x-a)^2+...
^^"...這樣真難打
其中a為展開點
現在f(x)=sinx
對0展泰勒級數
又f(0)=0
　f'(x)=cosx→f'(0)=1
　f''(x)=-sinx→f''(0)=0
　f'''(x)=-cosx→f'''(0)=-1...
∴f(x)=sinx=f(0)+[f'(0)/1!]×x+[f''(0)/2!]×x^2+...
　　　=0+x+0+[(-1)/3!])×x^3...

2009-02-10 11:06:54 補充：
(補充說明：因為sin函數為奇函數，所以展開只有奇函數項)
若將sinx寫成通式
sinx=∑(n=0~∞)[(-1)^n/(2n+1)!]×x^(2n+1)

提供一個直觀看法喔

半徑為1個單位圓
此時弧長=X
而X越來越小趨近於零
sinx就會幾乎等於x了~

故l i m sinX/X =1 !!!
X->0

2010-06-26 22:13:13 補充：
更正"半徑為一個單位圓"
正確為"半徑為一的單位圓"

http://pstock.idv.tw/files-pstock/9020903.pdf

SinX=X-X^3/3!+X^5/5!-X^7/7!+...





2009-02-10 03:22:19 補充：
那是泰勒展開式，很難證明
再給你幾個三角課本沒有的重要公式
CosX=1-X^2/2!+X^4/4!-X^6/6!+.....
Exp(X)=1+X+X^2/2!+X^3/3!+X^4/4!+....

你可以用 CosX SinX Exp(X)
證明棣莫夫定理 高中寫法 (CosA+iSinA)(CosB+iSinB)=Cos(A+B)+iSin(A+B)

微積分寫法 Exp(iA)=CosA+iSinA 記得前面是 Cos
有問題可EMAIL給我

嚴格來說那題不能用上下微分來作

因為要先能算出 lim_{x->0} sin x / x = 1

才能導出 sin x 的微分是 cos x

所以等於是拿本身的結果來證明本身這個式子了

2009-02-09 15:09:55 補充：
若題目是問 lim_{x->0} sin x 那答案當然是 0

然而螞蟻雄兵也證明了 lim_{x->0} sin x/x = 1

這告訴你當 x 靠近 0 時 sin x / x 會靠近 1 也就是說當 x 靠近 0 時 sin x 會靠近 x

並不是說 lim_{x->0} sin x = x

原來的微積分是這個樣子lim(X->0)sinX/X=1
利用計算的方法一步步逼近.就等於1.
使用高級一點的方法===>上下微分lim(X->0)sinX'/X'=lim(X->0)COSX/1=1/1=1
微積分很基本的極限知識!