MATHS 加數問題

這是自然數的倒數和問題,叫「調和級數」,數學家貝努利曾研究過它,並證明了當n趨向無窮大時,這調和級數的和亦趨向無窮。其實很易說明:
1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+...+1/16)+(1/17+...+1/32)+
(1/33+...+1/64)+......
大於
1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+...+1/16)+(1/32+...+1/32)+(1/64+...1/64)+...= 1+1/2+(2/4)+(4/8)+(8/16)+(16/32)+(32/64)+...
=1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+......=無窮大。

但對於有限的n,應該沒有初等的簡單求和公式,不過可以通過近似方法去求出其近似值:
因為 1/(n-1) + 1/n + 1/(n+1)
=2n/(n^2 -1) + 1/n > 2n/n^2 + 1/n = 2/n + 1/n = 3/n
例如 : 1/2+1/3+1/4 > 3/3 = 1,
1/5+1/6+1/7 > 3/6 = 1/2
1/8+1/9+1/10 >3/9= 1/3等

利用以上結果可計算1+1/2+1/3+1/4+..........1/n的近似值,以n=50為例:(用計數機可算出答案準確值是4.499205337......)
1+1/2+1/3+1/4+...+1/50
=1+1/2+1/3+1/4+(1/5+1/6+1/7)+(1/8+1/9+1/10)+...+(1/47+1/48+1/49)+1/50
大於1+13/12+(3/6)+(3/9)+...+(3/48)+1/50
=1+13/12+(1/2+1/3+1/4+1/5+...1/16)+1/50
=1+13/12 *2 +(1/5+...+1/16)+1/50,不斷重複以上方法:
大於1+13/12 *2 +(3/6+3/9+...3/15)+1/50
=1+13/12 *2 +(1/2+1/3+1/4+1/5)+1/50
=1+13/12 *3 + 1/5 + 1/50
=4.47
所以1+1/2+1/3+1/4+...+1/50的近似值是4.47,和準確值4.499205337......相當接近。
當n很大時,可選擇計算多些前端的項數,從較後的項開似作近似計算,以取得較準確的值。以上例子是計算前四項1+1/2+1/3+1/4,
然後從(1/5+1/6+1/7)開始作近似計算。

Answer in term of n:

n
∑ 1/x = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n
x=1

n=?