正12面體性質

很久沒做過計算, 我也手痕計一計吧~
我用原創的方法, 用 Spherical Coordinate:
(sinφcosθ, sinφsinθ,cosφ)
去化簡問題.
只需要知道其中一個頂點 P, 及相連的三點 A,B,C 的座標就可以了.
設 P = (0,0,1). 亦可以設 A = (sinφ,0, cosφ), 那:
B = (sinφcos 120, sinφ sin120, cosφ),
C = (sinφcos 240, sinφ sin240, cosφ)
(i.e. ABC 在高度 cosφ上形成一個等邊三個形)
B = (sinφ(-1/2), sinφ (rt3/2), cosφ)
其實 C 可以不理. 只需 PAB 就行了.






留意: φ是 POA 的夾角, 即是我們要找的角度. 而只需知道sinφ, 就可以直接計算PA 的邊長.
條件是: APB 要成 108'
這回可用 Vector 的 Dot Product 去找: 發現了計算 PAB = 36' 是比較容易的: (dot product 後兩個 coordinate 都是0)
AP = P-A = <-sinφ, 0, 1-cosφ>
AB = B-A = < sinφ(-3/2), sinφ(rt3/2), 0)

||AP|| = Rt [(sinφ)^2 + (1-cosφ)^2] = rt[2-2cosφ]
||AB|| = Rt [(sinφ)^2 [(9/4)+(3/4)]] = rt3 sinφ
AP . AB = 3/2(sinφ)^2
方程式為:
AP.AB = ||AP|| ||AB|| cos 36
cos 36 = (1+rt5)/4 = g/2 (g = golden ratio: g^2 = 1+g)
得出:
3/2(sinφ)^2 = rt3 (sinφ) rt[2-2cosφ] g/2
rt3 (sinφ) = rt(2-2cosφ) g
3 (sinφ)^2 = (2 - 2cosφ) g^2
3(1-cosφ^2) = 2(1-cosφ)g^2
3(1+cosφ) = 2g^2
--> cosφ = rt5/3
sinφ = 2/3
||AB|| = rt3 sinφ = 2rt3/3 = 2/rt3
AB = g AP (五角形對角 = 邊長x g)
--> AP = AB/g
= (2/ rt3) / ((1+rt5)/2)
= (rt5-1)/rt3






知道邊長, 計算體積方法很多. 最直接還是 12 x 五角錐體積.
我們先計算錐體 PABO 的體積. 因為我們已經知道了coordinate, 只要用 Triple Cross Product 就可以找出來.
Vol (PABO) = 1/6 |OA x OB . OP|
i.e. 只需知道 OA x OB 的 z component (因為 OP = <0,0,1>) 就成了:
= 1/6 |sinφsinφrt3/2| = 1/6*2/3 * 2/3 * rt3 /2 = rt3/27
這個錐體跟原先五角錐體是同高的, 只要知道面積比 Pentagon:PAB 就知道原先五角錐體的體積:
PAB = 1/2 a^2 sin108
Pentagon = 5a^2/4 tan54

--> Pentagon: PAB = 5/2 tan54/sin108
= (5/4) / (cos 54)^2
= (5+rt5)/2
答案: 12 x [rt3/27 x (5+rt5)/2]
Vol = (2 rt 15 +10 rt 3) / 9

2009-02-08 14:52:20 補充：
計算還算簡單, 只是要用到 cos36 跟 cos54 的值有點美中不足...
想請教一下菩提大師是用什麼方法計的呢?

2009-02-08 17:31:03 補充：
>>至於5角錐,我先求5邊形的半徑,與錐之高度求的(計算略)
這個方法我計得一塌糊塗 XD 太多 terms 跟 square root 了...

我曾經嘗試回答，

最後，在首二題，我得到了正確答案。

在第一題，我找到「sin^2 所需角 = 16(sin18度)(sin126度)/9」，
用計算機直接計算確實出現了4/9，我卻不知道此數從何而來。

第二題順利完成。

在第三題，我用了三角比的方式，怎料算得一塌糊塗。
我惟有直接用正十二面體的求面積公式「(15 + 7√5)/4 a^3」應付了，卻不知道發問者能否接受如此投機取巧之法，故望發問者可以回應。

他們有提供 Word 檔下載喔
版面就不會那麼亂了

中學生有此作品,難為他們了!
怎麼版面錯亂這麼嚴重!
當時我算的答案還算漂亮:
角度是 arcsin(2/3), 邊長(√5 - 1)/√3, 體積(10√3 + 2√15)/9

2009-02-08 16:57:57 補充：
謝謝Ivan的耐心!
前2題想法與您類似,考慮P與相鄰頂點ABC, P至正△ABC投影為G
設∠POA=θ=>PG=1- cosθ, AG=sinθ, AB=√3 sinθ,
12面體邊長a = 2 sin(θ/2), AB=(1+√5)a/2 (正5邊形邊長之黃金比)
=>(1+√5)sin(θ/2)=√3 sinθ=>cos(θ/2)=(1+√5)/(2√3)=>sinθ, a可得
至於5角錐,我先求5邊形的半徑,與錐之高度求的(計算略)

http://210.62.247.10/history2/95tousheng-15.htm
可以參考