圓錐曲線的性質

適當地座標剛性移動，可假設 directrix 為 y-axis，Focus F = (0, h)，eccentricity= e。
那麼 A和 B 的高度分別為 ex 和 ey 。
觀察之，可考慮 L 的傾斜角度為 θ。那麼
sinθ= (ex -h)/x = (h - ey)/y
即
(ex -h)/x = (h - ey)/y
e -h/x = h/y -e
2e/h = 1/x + 1/y
式左為常數。証畢。

2009-02-02 23:24:33 補充：
對。打錯字。
...，可假設 directrix 為 x-axis，....

2009-02-02 23:36:17 補充：
我記憶中香港的老師也沒有教 directrix和eccentricity，只是為應付考試學生都會買多本二手舊版書，那些書都會有提及以上的東西，雖然不會深入。由於沒正規地學過，所以我也不知道它們的中文名稱是甚麼。
想到用它們只是因為直觀的經驗覺得conic 的常數必和 eccentricity 有關。

2009-02-03 00:00:20 補充：
天空中的二次曲線???
是指三維曲線？

話說我也不知道橢圓與雙曲線如何由準線定義= =

對，Kepler's law(三大定律)都多少與這有關的。
雖然香港高考生完全不用知道eccentricity和directix是什麼，但我都很有興趣想知道呢。

個人覺得性質還蠻漂亮的,提供給將要高考的學生觀摩!

2009-02-02 23:15:04 補充：
directrix 為 x-axis !
香港學生都會用directrix與eccentricity嗎?

2009-02-02 23:18:45 補充：
在台灣學生學習橢圓(ellipse)與雙曲線(hyperbola)都定義為
PA+PB= 2a and |PA-PB|= 2a
會用directrix與eccentricity幾乎沒有了
so, 我已經是老頑童...泣!

2009-02-02 23:47:41 補充：
其實古典定義與新定義合併比較好,天空中的二次曲線還是古典定義好點!
本題若不懂準線(directrix)與離心率(eccentricity)恐怕就不易處理了!

2009-02-03 00:12:42 補充：
Eg. 行星繞恆星(地球繞太陽公轉)的軌跡(Trajectory)

2009-02-03 10:39:44 補充：
A={P(x,y) | PF/d(P, L) = e>=0 , 點F不在L上}, 則A之圖形為圓錐曲線!
(1)e=0 <=>圓 (2)e=1 <=>拋物線 (3)0<1 <=>橢圓 (4)e>1 <=>雙曲線
註: e與energy有關!

很像物理中透鏡的公式: 1/u + 1/v = 1/f 呢.

2009-02-03 08:54:45 補充：
Eccentricity 是指離心率, 在 circle 的 case 中其值為 zero, 因為它的軌上每一點與 centre 的距離是一致的.
惟 ellipse 中, 由於每點與某一 focus 的距離均不一致 (與兩 foci 的距離總和是一致, 但不代表與某一 focus 的距離一致), 所以當以任何一個 focus 作中心點計時, 軌跡上的點與它的距離會起變化, 因此就有離心率的概念