"Hint: It suffices to ensure that A contains pointsin each quarter of the square S and also in each sixteenth, etc. "
我看不懂中譯本的答案。
"取[0,1]兩個有理數列{xn}和 {yn}，使它們都是稠密的而且xi≠xj，yk≠yl，A={(xn, yn)} ，即適合要求。"
如中譯本的答案錯了，請給証明/反証明。
否，請解釋中譯本的答案。
To: EMK A={(x_n, x_n)} ，那麼 boundary(A)只是對角線，不是正方形 S。 如果A={(x_n, y_m) | m, n ∈ ℕ}，那麼便不可能符合條件"at most one point on each horizontal and each vertical line"。
To EMK: 這說明{xn}和{yn}不同，或至少排列是不同，否則便不可能覆蓋整個S。所以是不可能隨便說兩個稠密數列就是答案。如{xn}對應 ℚ∩[0,1] 的所有點，那應如何排列，相對地{yn}應如何排列。 如果答案是對的，我希望可以再清楚一些，例如如何應用Hint去証明。 我懷疑答案犯了和 Ivan 大大一樣的錯誤。
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7008040900309
我所看的書： http://books.google.com/books?id=jYU7AQAACAAJ&dq=%EF%BC%97%EF%BC%91%EF%BC%91%EF%BC%95%EF%BC%91%EF%BC%94%EF%BC%92%EF%BC%92%EF%BC%94%EF%BC%96&hl=zh-TW
我忽然想到一對數列，大家看看可不可行。 {xn} 對應 ℚ∩[0,1] 的所有點，即 xn = p_n/q_n，p_n和q_n互質。假設 yn = (xn)^q_n 那麼 A={ (xn, yn) | n ∈ ℕ} 就是所需的集。現在要証明： 1) A 是稠密的。 2) "at most one point on each horizontal and each vertical line" 大家幫忙想想。
修正： yn = (xn)^qn if qn is odd yn = (xn)^(1/qn) if qn is even
yn 不需要必定是有理數，但 q_n=2和4時會有問題，所以再修正： yn = (xn)^qn if qn is even yn = (xn)^(1/qn) if qn is odd
看了 菩提 的方法，我想到了一個和Hint符合的方法了。 {xn} 對應 ℚ∩[0,1] 的所有點。 設 (x1, y1) = (1/2 , 1/2)。 現在，在 ]0, 1/2[ 和 ]1/2 , 0[ 中，"draw without replacemetn"，各從{xn}取兩點，分別地記為 x(1) , y(1) 及 x(2), y(2)
看了 菩提 的方法，我想到了一個和Hint符合的方法了。 {Xn} 對應 ℚ∩[0,1] 的所有點。 設 (x1, y1) = (1/2 , 1/2)。 現在，在 ]0, 1/2[ 和 ]1/2 , 0[ 中，"draw without replacement"，各從{Xn}取兩點，分別地記為 x(1) , y(1) 及 x(2), y(2)。
現在，在 ]0, 1/2[ 和 ]1/2 , 0[ 中，"draw without replacement"，各從{Xn}取四點，分別地記為 x11 , x12, y11, y12 及 x21, x22, y21, y22。定義 (x2, y2) = (x11, y11) (x3, y3) = (x12, y21) (x4, y4) = (x22, y22) (x5, y5) = (x21, y12) 再在 ]0,1/4[ , ]1/4, 1/2[ , ]1/2, 3/4[ , ]3/4, 1[ 重複。 即在均分 S 小段裡，每小段取 2*S個 {Xn}中的點。
