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已知 (x^2-1)^n之 n 階導數為Legendre polynomial Pn(x)。
需應用Legendre polynomials關系式：
(1 - x2) P"n(x) -2x P'n(x) + n(n + 1) Pn(x) = 0
或
n(n + 1) Pn(x) = 2x P'n(x) + (x^2 -1) P"n(x)
考慮式右，由-1至1積分之
∫ 2x P'n(x) dx + ∫ (x^2 -1) P"n(x) dx
= ∫ P'n(x) d(x^2) + ∫ (x^2 -1) P"n(x) dx
= { x^2 P'n(x)}_{-1 to 1} - ∫x^2 P"n(x) dx + ∫ (x^2 -1) P"n(x) dx
= { x^2 P'n(x)}_{-1 to 1} + ∫ ( -1) P"n(x) dx
= { P'n(1) - P'n(-1)} + ∫ ( -1) P"n(x) dx
= { P'n(1) - P'n(-1)} + { ( -1) P'n(x)}_{-1 to 1}
= 0
這表示式左由-1至1積分之也是零，因此
∫Pn(x) dx = 0 .... (*)
顯見 w(1), w(2), ..., w(n) 不會全等於零。例如：
g(x) = (x -x2)^2 (x -x3)^2 ... (x -xn)^2
我們有 g(x) >=0 for all x 及 deg( g) < 2n，故
0 < ∫g(x) dx = w(1) g(x1)
由於 g(x1) >0 ，所以 w(1) >0
同理，我們有 w(k) >0 ， k=1,2, 3, ..., n .... (**)
由 (*)及(**)，我們必有 Pn(xk) = 0 , k= 1, 2, ..., n
用軟件 MAPLE，我們有
P4(x) = 1680*x^4 - 1440*x^2 + 144
再用 MAPLE 得
x1= -(1/35)*sqrt(525+70*sqrt(30))
x2 = (1/35)*sqrt(525+70*sqrt(30))
x3 = -(1/35)*sqrt(525-70*sqrt(30))
x4 = (1/35)*sqrt(525-70*sqrt(30))
2009-01-31 18:03:09 補充：
犯了致命錯誤，不過今次夠時間可以敗者復活。
....
同理，我們有 w(k) >0 ， k=1,2, 3, ..., n .... (**)
另一方面，Legendre polynomials 有正交性質，即
∫{-1,1} Pm(x)*Pn(x) dx = 0 if m≠ n
2009-01-31 18:04:48 補充：
又由於 deg(Pn(x) )=n，所以 { Pk(x)} , k=1,2,.... 是多項式函數空間的線性基底。特別地，對於任何多項式 g , deg(g)
2009-01-31 18:05:39 補充：
特別地，對於任何多項式 g , deg(g)
2009-01-31 18:06:24 補充：
特別地，對於任何多項式 g
deg(g)
2009-01-31 18:07:27 補充：
特別地，對於任何多項式 g , deg(g)少於n，g 是deg
2009-01-31 18:08:41 補充：
特別地，對於任何多項式 g , deg(g)少於n，g 是少於n次的Legendre polynomials的線性組合，所以當 deg(g)
2009-01-31 18:09:29 補充：
所以當 deg(g)少於n，有
∫{-1,1} Pn(x)*g(x) dx
= ∫{-1,1} Pn(x)*{deg
2009-01-31 18:12:09 補充：
特別地，對於任何多項式 g , deg(g)少於n，g 是deg少於n的Legendre polynomials的線性組合，所以當 deg(g)少於n，有
∫{-1,1} Pn(x)*g(x) dx
= ∫{-1,1} Pn(x)*{deg少於n的Legendre polynomials的線性組合} dx
= 0
2009-01-31 18:13:15 補充：
現在假設 g1(x) = (x -x2)(x -x3) ... (x -xn)，有 deg(g1)少於n，所以
0 = ∫{-1,1} Pn(x)*g1(x) dx = w(1)(x1 -x2)(x1 -x3) ... (x1 -xn)Pn(x1)
由此可見 Pn(x1) = 0
同理，Pn(xk) = 0 , k= 1, 2, ..., n
2009-01-31 18:16:30 補充：
亂碼食字好討厭。
